Bonjour;
J'ai un exercice pour vendredi sur les suites pourriez vous m'aider à le résoudre svp
merci par avance de votre aide
on considère la suite (wn) définie par w0 = 0,6 et pour tout entier n on a wn+1 = 0,7 wn+0,1
Démontrer que pour tout entier n , 0< ou égal à wn < ou égal à 1
Démontrer que la suite (wn) est monotone
suite
Re: suite
Bonjour
1) On fait une démonstration par récurrence.
a) $0\leq w_0\leq 1$
b) Si, au rang $n$, $0\leq w_n\leq 1$ alors $0+0,1\leq 0,7w_n+0,1\leq 0,8$ donc $0\leq w_{n+1}\leq 1$
c) Conclusion : $\forall n \in {\mathbb N},\ 0\leq w_n\leq 1$
2) Soit la fonction affine $f$ définie par $f(x)=0,7 x +0,1$. C'est une fonction croissante et $w_{n+1} =f(w_n)$
On fait une démonstration par récurrence pour démontrer que la suite est décroissante.
a) $w_1=0,7\times 0,6+0,1=0,52$ donc $w_1\leq w_0$
b) On suppose vérifié au rang $n$ : $w_{n+1}\leq w_n$.
Puisque $f$ est une fonction croissante, elle conserve l'ordre donc $f(w_{n+1})\leq f(w_n)$ soit $w_{n+2}\leq w_{n+1}$
c) Conclusion : $\forall n\in {\mathbb N},\ w_{n+1}\leq w_n$
La suite est donc décroissante donc monotone.
1) On fait une démonstration par récurrence.
a) $0\leq w_0\leq 1$
b) Si, au rang $n$, $0\leq w_n\leq 1$ alors $0+0,1\leq 0,7w_n+0,1\leq 0,8$ donc $0\leq w_{n+1}\leq 1$
c) Conclusion : $\forall n \in {\mathbb N},\ 0\leq w_n\leq 1$
2) Soit la fonction affine $f$ définie par $f(x)=0,7 x +0,1$. C'est une fonction croissante et $w_{n+1} =f(w_n)$
On fait une démonstration par récurrence pour démontrer que la suite est décroissante.
a) $w_1=0,7\times 0,6+0,1=0,52$ donc $w_1\leq w_0$
b) On suppose vérifié au rang $n$ : $w_{n+1}\leq w_n$.
Puisque $f$ est une fonction croissante, elle conserve l'ordre donc $f(w_{n+1})\leq f(w_n)$ soit $w_{n+2}\leq w_{n+1}$
c) Conclusion : $\forall n\in {\mathbb N},\ w_{n+1}\leq w_n$
La suite est donc décroissante donc monotone.