etude de fonction/limites/asymptotes

[poulet62400]

Bonjour, je dois réviser sur ce genre de fonction pouvez vous m'aider svp, j'ai pris beaucoup de retard dans mes révisions de BAC je m'en sors pas ! merci de votre aide

EXERCICE N°1
Soit la fonction f(x) = 4x²-12
.............................. x-2

1/ donner le domaine de définition
2/ etudier les limites dans le domaine de definition. En déduire l'equation de l'asymptote verticale.
3/ montrer que f(x) peut d'ecrire sous la forme f(x)= 4x+8+ 4
......................................................................x-2
4/ calculer la fonction dérivée.
5/ étudier le signe de la fonction dérivée
6/ en deduire le tableau de variation
7/ tracer la courbe
8/ lim[f(x)-(4+8)]
x --> + l'infini
9/ En déduire l'équation de l'asymptote oblique
10/ donner et tracer sur le graphique l'équation de la tangente en x0 = 0

Je vous remercie de votre aide

[Job]

Bonjour

1/ La fonction est définie si le dénominateur est non nul soit $x\neq 2$ donc $D_f=]-\infty , 2[\cup ]2,+\infty[$

2/ $f(x)=\frac{x^2(4-\frac{12}{x^2})}{x(1-\frac{2}{x})}=x\times \frac{4-\frac{12}{x^2}}{1-\frac{2}{x}}$
$\lim_{x\to \pm \infty} (4-\frac{12}{x^2})=4$ et $\lim_{x\to \pm \infty}(1-\frac{2}{x})=1$ donc $\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$ et $\lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$

$\lim_{x\to 2} (4x^2-12)=-4$ ; $\lim_{x\to 2^-}(x-2)=0^-$ donc $\lim_{x\to 2^-}f(x)=+\infty$
$\lim_{x\to 2^+} (x-2)= 0^+$ donc $\lim_{x\to 2^+} f(x)= -\infty$
La droite d'équation $x=2$ est asymptote verticale à la courbe représentative.

3/ $4x+8+\frac{4}{x-2}=\frac{(4x+8)(x-2)+4}{x-2}=\frac{4x^2-8x+8x-16+4}{x-2}=\frac{4x^2-12}{x-2}=f(x)$

4/ On utilise la formule de dérivation d'un quotient :
$f'(x)=\frac{8x(x-2)-1(4x^2-12)}{(x-2)^2}=\frac{8x^2-16x-4x^2+12}{(x-2)^2}=\frac{4x^2-16x+12}{(x-2)^2}=\frac{4(x^2-4x+3)}{(x-2)^2}$

5/ Sur l'ensemble de définition le dénominateur est strictement positif donc $f'(x)$ a le signe de $x^2-4x+3$
On cherche les racines de $x^2-4x+3$ : $\Delta = 4$ , $x_1=1$ et $x_2=3$
En appliquant la règle sur le signe du trinôme on obtient que :
$f'(x)>0$ sur les intervalles $]-\infty, 1[$ et $]3,+\infty[$
$f'(x)=0$ pour $x=1$ et $x=3$
$f'(x)<0$ sur les intervalles $]1,2[$ et $]2,3[$

6/ $f$ est donc croissante sur les intervalles $]-\infty , 1]$ et $[3,+\infty[$ et décroissante sur les intervalles $]1,2[$ et $]2,3[$
$f(1)=8$ et $f(3)=24$

8/ $f(x)-(4x+8)=\frac{4}{x-2}$ donc $\lim_{x\to +\infty} [f(x)-(4x+8)]=0$

9/ La courbe admet donc l'asymptote oblique d'équation $y=4x+8$

10/ La tangente au point d'abscisse 0 a pour équation $y=f'(0)(x-0)+f(0)$ soit $y=3x+6$