Bonjour;
Voici la suite de l'exercice réflexion que je n'arrive pas du tout à comprendre . Merci à vous
Démontrer que si n est un entier naturel non nul tel que (ln (n)) / n supérieur à (ln (n+1)( /( n+1) alors n^(n+1) supérieur à (n+1)^n
Rédiger une solution aux questions posées concernant les questions suivantes:
Quel est le plus grand parmi les nombres 2014^2015 et 2015^2014? Peut on généraliser le résultat ?
exo ln
Re: exo ln
$\frac{\ln n}{n}>\frac{\ln (n+1)}{n+1}\Longleftrightarrow (n+1)\ln n >n\ln (n+1) \Longleftrightarrow \ln (n^{n+1})>\ln ((n+1)^n) \Longleftrightarrow n^{n+1}>(n+1)^n$ car la fonction $\ln $ est strictement croissante.
$\frac{\ln (2014)}{2014})\simeq 3,777\cdot 10^{-3}$ et $\frac{\ln (2015)}{2015}\simeq 3,776\cdot 10^{-3}$
Donc $\frac{\ln (2014)}{2014}>\frac{\ln (2015)}{2015}$ et d'après la démonstration précédente $2014^{2015}>2015^{2014}$
Le résultat peut être généralisé car dans la démonstration, toutes les inégalités sont équivalentes.
$\frac{\ln (2014)}{2014})\simeq 3,777\cdot 10^{-3}$ et $\frac{\ln (2015)}{2015}\simeq 3,776\cdot 10^{-3}$
Donc $\frac{\ln (2014)}{2014}>\frac{\ln (2015)}{2015}$ et d'après la démonstration précédente $2014^{2015}>2015^{2014}$
Le résultat peut être généralisé car dans la démonstration, toutes les inégalités sont équivalentes.