Bonjour;
Voici un autre exercice sur les nombres complexes qui sera regardé par notre prof , je vous indique les questions où j'ai eu du mal ;
Le plan complexe est rapporté à un repère direct (O, u, v)
A tout point M d'affixe z on associe le point M' d'affine z' = z^2 - 4z
On a ZA = 1 + 2i et ZB = (1) / (1+i)
démontrer que si deux droites distincts M1 (z1) et M2 (z2) ont la meme image alors le milieu du segment M1M2 a pour affixe 2
Soient E le point d'affixe -3 , M est un point d'affixe z et M' son image
Démontrer que le quadrilatère OMEM' est un parallélogramme ssi z^2 - 3z + 3 = 0
Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z pour lesquels z' est réel
Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que module de z' = module de z
Montrer que si z + z (barre) = 4 alors module de z' = module de z^2
nombres complexes
Re: nombres complexes
Bonsoir
1) Si $M_1$ et $M_2$ ont la même image alors $z_1^2-4z_1=z_2^2-4z_2$
$z_1^2-z_2^2-4z_1+4z_2=0$
$(z_1-z_2)(z_1+z_2)-4(z_1-z_2)=0$
$(z_1-z_2)(z_1+z_2-4)=0$
$M_1$ et $M_2$ étant distincts, $z_1-z_2\neq 0$ donc $z_1+z_2-4=0$ soit $\frac{z_1+z_2}{2}=2$
$\frac{z_1+z_2}{2}$ est l'affixe du milieu de $[M_1M_2]$ donc le milieu de $[M_1M_2]$ a pour affixe 2.
2) $OMEM'$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow {M'E}$ donc si et seulement si ces vecteurs ont même affixe soit $z=3-(z^2-4z)$ soit $z-3-(z^2-4z)=0$ soit encore $z^2-3z+3=0$
3) On considère la forme algébrique de $z$ : $z=x+iy$
$z'=z^2-4z=(x+iy)^2-4(x+iy)=x^2+2xyi-y^2-4x+4iy=(x^2-y^2-4x) +i(2xy-4y)$
$z'$ est réel si set seulement si sa partie imaginaire est nulle soit $(2xy-4y)=0$ , $2y(x-2)=0$
L'ensemble des points $M$ est la réunion des droites d'équation $y=0$ et $x=2$.
4) Le module d'un produit est égal au produit des modules donc
$|z'|=|z|\Longleftrightarrow |z|\cdot |z-4|=|z|$ soit $|z|(|z-4|-1)=0$
Donc l'ensemble des points $M$ tels que $|z'|=|z|$ est la réunion du point $O$ et des points d'affixe $z$ tels que $|z-4|=1$ donc du cercle de centre le point d'affixe 4 et de rayon 1.
5) $z+\bar z =2 Re (z)$ donc $z+\bar z =4 \Longleftrightarrow Re(z)=2$
$|z'|=|z^2|\Longleftrightarrow |z|\cdot|z-4|=|z|^2 \Longleftrightarrow |z-4|=|z|$
Or $|z|=\sqrt{2^2+y^2}=\sqrt{4+y^2}$ et $|z-4|=\sqrt{(2-4)^2+y^2}=\sqrt{4+y^2}$
Donc on a bien $|z'|=|z^2|$.
1) Si $M_1$ et $M_2$ ont la même image alors $z_1^2-4z_1=z_2^2-4z_2$
$z_1^2-z_2^2-4z_1+4z_2=0$
$(z_1-z_2)(z_1+z_2)-4(z_1-z_2)=0$
$(z_1-z_2)(z_1+z_2-4)=0$
$M_1$ et $M_2$ étant distincts, $z_1-z_2\neq 0$ donc $z_1+z_2-4=0$ soit $\frac{z_1+z_2}{2}=2$
$\frac{z_1+z_2}{2}$ est l'affixe du milieu de $[M_1M_2]$ donc le milieu de $[M_1M_2]$ a pour affixe 2.
2) $OMEM'$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow {M'E}$ donc si et seulement si ces vecteurs ont même affixe soit $z=3-(z^2-4z)$ soit $z-3-(z^2-4z)=0$ soit encore $z^2-3z+3=0$
3) On considère la forme algébrique de $z$ : $z=x+iy$
$z'=z^2-4z=(x+iy)^2-4(x+iy)=x^2+2xyi-y^2-4x+4iy=(x^2-y^2-4x) +i(2xy-4y)$
$z'$ est réel si set seulement si sa partie imaginaire est nulle soit $(2xy-4y)=0$ , $2y(x-2)=0$
L'ensemble des points $M$ est la réunion des droites d'équation $y=0$ et $x=2$.
4) Le module d'un produit est égal au produit des modules donc
$|z'|=|z|\Longleftrightarrow |z|\cdot |z-4|=|z|$ soit $|z|(|z-4|-1)=0$
Donc l'ensemble des points $M$ tels que $|z'|=|z|$ est la réunion du point $O$ et des points d'affixe $z$ tels que $|z-4|=1$ donc du cercle de centre le point d'affixe 4 et de rayon 1.
5) $z+\bar z =2 Re (z)$ donc $z+\bar z =4 \Longleftrightarrow Re(z)=2$
$|z'|=|z^2|\Longleftrightarrow |z|\cdot|z-4|=|z|^2 \Longleftrightarrow |z-4|=|z|$
Or $|z|=\sqrt{2^2+y^2}=\sqrt{4+y^2}$ et $|z-4|=\sqrt{(2-4)^2+y^2}=\sqrt{4+y^2}$
Donc on a bien $|z'|=|z^2|$.