Bonjour;
J'ai un exercice sur les nombres complexes mais je n'arrive pas du tout à le faire pourriez vous m'aider svp ;
Voici l'énoncé :
Quels sont les nombres complexes z tel que z , 1/z et 1-z aient même module ?
d'avance merci de votre aide
nombre complexe
Re: nombre complexe
Bonsoir
$|z|=|\frac{1}{z}|\Longleftrightarrow |z|=\frac{1}{|z|}\Longleftrightarrow |z|^2=1$
Un module est un réel positif donc $|z|=1$ et l'ensembles des points vérifiant cette égalité est le cercle de centre O et de rayon 1.
Soit $A$ le point d'affixe 1 et $M$ d'affixe $z$.
$|z|=|1-z| \Longleftrightarrow OM=AM$. L'ensemble des points M vérifiant cette égalité est la médiatrice de $[OA]$
Conclusion : l'ensemble des points $M$ dont l'affixe vérifie la double égalité se compose des 2 points d'intersection du cercle de centre $O$ et de rayon 1 avec la médiatrice de $[OA]$
Le cercle a pour équation $x^2+y^2=1$ et la médiatrice de $[OA]$ a pour équation $x=\frac{1}{2}$
Les points ont comme coordonnées respectives : $(\frac{1}{2} , \frac{\sqrt 3}{2})$ et $(\frac{1}{2} , -\frac{\sqrt 3}{2})$ et donc comme affixes $z=\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt 3}{2}$ et $z=\frac{1}{2} -i\frac{\sqrt 3}{2}$
On peut aussi partir en prenant la forme algébrique de $z$ : $z=x+iy$ et en séparant comme précédemment $|z|=|\frac{1}{z}|$ et $|z|=|1-z|$ on arrive aux 2 mêmes équations.
$|z|=|\frac{1}{z}|\Longleftrightarrow |z|=\frac{1}{|z|}\Longleftrightarrow |z|^2=1$
Un module est un réel positif donc $|z|=1$ et l'ensembles des points vérifiant cette égalité est le cercle de centre O et de rayon 1.
Soit $A$ le point d'affixe 1 et $M$ d'affixe $z$.
$|z|=|1-z| \Longleftrightarrow OM=AM$. L'ensemble des points M vérifiant cette égalité est la médiatrice de $[OA]$
Conclusion : l'ensemble des points $M$ dont l'affixe vérifie la double égalité se compose des 2 points d'intersection du cercle de centre $O$ et de rayon 1 avec la médiatrice de $[OA]$
Le cercle a pour équation $x^2+y^2=1$ et la médiatrice de $[OA]$ a pour équation $x=\frac{1}{2}$
Les points ont comme coordonnées respectives : $(\frac{1}{2} , \frac{\sqrt 3}{2})$ et $(\frac{1}{2} , -\frac{\sqrt 3}{2})$ et donc comme affixes $z=\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt 3}{2}$ et $z=\frac{1}{2} -i\frac{\sqrt 3}{2}$
On peut aussi partir en prenant la forme algébrique de $z$ : $z=x+iy$ et en séparant comme précédemment $|z|=|\frac{1}{z}|$ et $|z|=|1-z|$ on arrive aux 2 mêmes équations.