C'est une élève en Terminal ES
Partie A :
1. a) C'est de l'à peu près
Concave sur l'intervalle [0 ; 4]
Convexe sur l'intervalle [4 ; 10]
1. b) Comme la courbe change de convexité, elle admet donc un point d'inflexion.
2. a) Ct '(x) = 3x² - 24x + 50
La courbe représentative de la fonction Ct ', est tournée vers le haut car elle admet un coefficient positive devant x², donc elle admet un minium en -b/2a = 4
La courbe est décroissante sur [0 ; 4] puis croissante sur [4 ; 10].
2. b)
On sait qu'une fonction est concave sur un intervalle si sa dérivé est décroissante et qu'une fonction est convexe sur un intervalle si sa dérivé est croissante.
Dans 2.a), comme Ct ' est décroissante sur [0 ; 4] donc Ct est concave dans cet intervalle.
Comme Ct ' est croissante sur [4 ; 10], donc Ct est convexe dans cet intervalle.
Son point d'inflexion est déterminé lorsque la dérivé seconde de Ct s'annule donc :
Ct ' ' (x) = 0
6x - 24 = 0
x = 4
Elle admet donc bien un point d'inflexion en x = 4.
Partie B :
1. a) L'équation de la droite (OA) est de la forme y = mx car la droite passe par l'origine.
Comme A appartient à la courbe, il a donc pour coordonnée (a ; Ct(a) ) et vérifie l'équation de la droite :
Le coefficient directeur est donné par :
m = Ct(a) / a
On remarque que :
CM(a) = Ct(a) / a
Donc le coefficient directeur de la droite (OA) est égal au coût moyen CM(a).
1. b) Graphiquement, la CM est décroissante sur l'intervalle ] 0 ; 6.7] et croissante sur [6.7 ; 10].
2. Je ne sais pas du tout
3. a) CM '(x)= 2x - 12 - 63/x²
3. b)
Pour vérifier si CM '(x) = 0 admet une unique solution, on va d'abord chercher les variations de cette fonction grâce à la dérivé seconde :
CM ' ' (x) = 2 + 63/x^4
Quelque soit x appartenant à l'intervalle ] 0 ; 10]
CM ' ' (x) > 0
Donc CM ' est croissante sur cet intervalle.
Lim x -> 0 CM ' (x) = - infini
Lim x -> +infini CM ' (x) = +infini
De plus CM ' (10) = 7.4
CM ' est strictement croissante et continue dans l'intervalle ]0 ; 10].
De plus l'intervalle image par cette fonction nous donne ] - infini ; 7.4], et 0 appartient à cet intervalle.
Donc d'après le théorème de la bijection, l'équation CM '(x) = 0, admet une unique solution.
Ce minimum est atteint en alpha = 6.70 (arrondi au centième près)
3. c)
D'après 3. b) on déduit que :
Sur ] 0 ; alpha ], CM' (x) < 0
Sur [ alpha ; 10], CM' (x) > 0
Donc :
Sur ] 0 ; alpha ], CM est décroissante.
Sur [ alpha ; 10], CM est croissante.
3. d)
Le prix de vente minimal est donc la valeur alpha.
Il faut vendre 7000 articles à 24 000€, soit :
24000/7000 = 4€ l'article (à l'euro près)
Je ne suis pas du tout sûr pour la d)....
4.
Vérifions par le calcul :
Ct '(alpha) = 23.87
CM (alpha) = 23.89
Comme alpha était une valeur arrondi, on peut donc justifier que lorsque le coût moyen est minimal alors le coût moyen est égal au coût marginal.
Je suis pris par contre-temps et je n'ai pas le temps de continuer... Est-ce que vous pouvez vérifier si j'ai bon, et de continuer la suite svp ? je suis désolé
Édit : j'ai pu compléter un peu, mais je ne suis pas du tout sûr..
Édit 2 : Je lui ai passé cette correction, j'espère qu'elle est bonne, ne vous prenez pas la peine de le corriger entièrement, je pense qu'elle l'aura déjà rendu d'ici là ^^. Mais me concernant, j'aimerai savoir si ce que j'ai fait est bon ou pas, et ce que je n'ai pas pu faire aussi..
Merci à vous Job.
