Bonjour,
j'ai eu du mal à comprendre le corrigé d'un exercice sur les suite.
Le voici:
Soit P(n) la propriété définie pour tout entier n≥1 par:
1×2+2×3+....+n×(n+1)= [n(n+1)(n+2)]/3
Démontrer que pour tout entier n≥1, la propriété P(n) est vraie.
Et que je sais comment initialisé et calculer pn+1,je ne comprend pas pourquoi ils ont écrit :
Pn+1=1*2+...+(n+1)*(n+2) = [(n+1)*(n+2)(n+3)]/3
Hérédité:
Soit un entier n≥1,supposons que P(n) est vrai et montrons que pn+1 est vrai.
A)1*2+...+n*(n+1)+(n+1)(n+2)= [n(n+1)(n+2)]/3 +(n+1)(n+2).
Mais je ne vois pas pourquoi on a injecté le "(n+1)(n+2)" de Pn+1 dans A) 1*2+...+n*(n+1)+(n+1)(n+2)= [n(n+1)(n+2)]/3 +(n+1)(n+2).
si le "(n+1)(n+2)" viens bien de Pn+1...
Sinon ton noël c'est bien passé job?
Suite,réccurrence
Re: Suite,réccurrence
Bonjour
Mon Noël s'est très bien passé, j'espère qu'il en est de même pour toi.
Pour que ce soit clair, je préfère reprendre entièrement la démonstration.
Initialisation : il faut regarder si $P_1$ est vrai, c'est-à-dire si $1\times 2 =\frac{1\times 2 \times 3}{3}$. Cette égalité est bien vérifiée.
Hérédité : on suppose $P_n$ vraie. Il faut démontrer que $P_{n+1}$ est vraie c'est-à-dire : $1\times 2 +2\times 3 \times \cdots \times n(n+1)\times (n+1)(n+2)=\frac{(n+1)((n+1)+1)((n+1)+2)}{3}$
Puisqu'on suppose $P_n$ vraie,
$1\times 2 +2\times 3 \times \cdots \times n(n+1)\times (n+1)(n+2)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3} +(n+1)(n+2)$
$=(n+1)(n+2)(\frac{n}{3}+1)=(n+1)(n+2)(\frac{n+3}{3})=\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$
ce qui est bien l'égalité qu'on voulait obtenir.
Mon Noël s'est très bien passé, j'espère qu'il en est de même pour toi.
Pour que ce soit clair, je préfère reprendre entièrement la démonstration.
Initialisation : il faut regarder si $P_1$ est vrai, c'est-à-dire si $1\times 2 =\frac{1\times 2 \times 3}{3}$. Cette égalité est bien vérifiée.
Hérédité : on suppose $P_n$ vraie. Il faut démontrer que $P_{n+1}$ est vraie c'est-à-dire : $1\times 2 +2\times 3 \times \cdots \times n(n+1)\times (n+1)(n+2)=\frac{(n+1)((n+1)+1)((n+1)+2)}{3}$
Puisqu'on suppose $P_n$ vraie,
$1\times 2 +2\times 3 \times \cdots \times n(n+1)\times (n+1)(n+2)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3} +(n+1)(n+2)$
$=(n+1)(n+2)(\frac{n}{3}+1)=(n+1)(n+2)(\frac{n+3}{3})=\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$
ce qui est bien l'égalité qu'on voulait obtenir.
Re: Suite,réccurrence
C'est cool si ton noël s'est bien passé 
,pour moi aussi ça s'est bien passé.
Mis appart cela,je comprend tout jusqu'à :
"Puisqu'on suppose $P_n$ vraie,
$1\times 2 +2\times 3 \times \cdots \times n(n+1)\times (n+1)(n+2)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3} +(n+1)(n+2)$
$=(n+1)(n+2)(\frac{n}{3}+1)=(n+1)(n+2)(\frac{n+3}{3})=\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$
ce qui est bien l'égalité qu'on voulait obtenir."
L'expression avant le premier égal c'est pn+1 et $\frac{n(n+1)(n+2)}{3} $ c'est Pn ,jusque là ok, mais comment savais t'on qu'en additionnant $\frac{n(n+1)(n+2)}{3} +(n+1)(n+2)$,on n retomberai sur Pn+1?
Ce 3(n+1)(n+2)" est embêtant.
PS,quand on met tout au même dénominateur pourquoi on obtient pas:
$\frac{n(n+1)(n+2)}{3} +(n+1)(n+2)$ =$\frac{n(n+1)(n+2)+3(n+1)(n+2)}{3}$
?
,pour moi aussi ça s'est bien passé.Mis appart cela,je comprend tout jusqu'à :
"Puisqu'on suppose $P_n$ vraie,
$1\times 2 +2\times 3 \times \cdots \times n(n+1)\times (n+1)(n+2)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3} +(n+1)(n+2)$
$=(n+1)(n+2)(\frac{n}{3}+1)=(n+1)(n+2)(\frac{n+3}{3})=\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$
ce qui est bien l'égalité qu'on voulait obtenir."
L'expression avant le premier égal c'est pn+1 et $\frac{n(n+1)(n+2)}{3} $ c'est Pn ,jusque là ok, mais comment savais t'on qu'en additionnant $\frac{n(n+1)(n+2)}{3} +(n+1)(n+2)$,on n retomberai sur Pn+1?
Ce 3(n+1)(n+2)" est embêtant.
PS,quand on met tout au même dénominateur pourquoi on obtient pas:
$\frac{n(n+1)(n+2)}{3} +(n+1)(n+2)$ =$\frac{n(n+1)(n+2)+3(n+1)(n+2)}{3}$
?
Re: Suite,réccurrence
1) Le premier membre de l'égalité à démontrer est la somme des produits de 2 entiers consécutifs. Le premier facteur du dernier produit étant le $n$ de $P_n$ et le second facteur : l'entier suivant.
Donc quand on écrit $P_{n+1}$, le dernier produit sera le produit de $n+1$ par l'entier suivant c'est-à-dire $n+2$ donc la somme est égale à $[1\times 2 +\cdots +n(n+1)]+(n+1)(n+2)$.
2) En faisant une mise en facteur par $(n+1)(n+2)$, on a : $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}+(n+1)(n+2)=\frac{n(n+1)(n+2)+3(n+1)(n+2)}{3}=\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$
(J'avais procédé un peu différemment mais c'est la même chose).
Donc quand on écrit $P_{n+1}$, le dernier produit sera le produit de $n+1$ par l'entier suivant c'est-à-dire $n+2$ donc la somme est égale à $[1\times 2 +\cdots +n(n+1)]+(n+1)(n+2)$.
2) En faisant une mise en facteur par $(n+1)(n+2)$, on a : $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}+(n+1)(n+2)=\frac{n(n+1)(n+2)+3(n+1)(n+2)}{3}=\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$
(J'avais procédé un peu différemment mais c'est la même chose).