Bonjour, pouvez vous m'aider pour cet exercice, j'arrive pas à traiter les questions 2°/ et 3°/
(O, i , j) est un repère du plan. Soit l'application affine f définie pour tout point M (x, y) d'image M' (x', y') par:
$x'=$$\frac{4x}{3}$-$\frac{y}{3}$+$\frac{1}{3}$ et $y'=$$\frac{-2x}{3}$+$\frac{5y}{3}$-$\frac{2}{3}$
1°/ Déterminer l'ensemble des points invariants.
2°/ Démontrer que la direction de $\overrightarrow{MM'}$ est fixe.
3°/ Démontrer que qu'il existe (a; a') couples de réels vérifiant a+a'=1 et tel que le barycentre de {(M, a); (M', a')} soit invariant par f.
En déduire une construction simple de l'image par f d'un point M quelconque.
Pour 1°/ l'ensemble des points invariants j'ai trouvé la droite d'équation x+y-1=0
application affine
Re: application affine
Bonjour
1) J'ai trouvé comme réponse : $x-y+1=0$. Votre réponse est à revoir.
2) Le vecteur $\overrightarrow{MM'}$ a pour coordonnées : $\left(\begin{matrix}\frac{4x}{3}-\frac{y}{3}+\frac{1}{3}-x\\-\frac{2x}{3}+\frac{5y}{3}-\frac{2}{3}-y\end{matrix}\right)$ = $\left(\begin{matrix}\frac{1}{3} (x-y+1)\\-\frac{2}{3}(x-y+1)\end{matrix}\right)$
Donc $Y_{\overrightarrow{MM'}}=-2X_{\overrightarrow{MM'}}$. Le vecteur$\overrightarrow{MM'}$ est donc colinéaire au vecteur de coordonnées (1,-2) et donc sa direction est fixe.
3) Soit $G$ de coordonnées $(g,h)$ le barycentre cherché.
$a\overrightarrow{GM}+a'\overrightarrow{GM'}=\overrightarrow{0}$
$a\overrightarrow{GM}+a'(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MM'})=\overrightarrow{0}$
$(a+a')\overrightarrow{GM}+a'\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{0}$ soit $\overrightarrow{GM}+a'\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{0}$
Donc $\overrightarrow{MG}=a'\overrightarrow{MM'}$
En reprenant les coordonnées de $\overrightarrow{MM'}$ obtenues à la question précédente, on a donc :
$\left\{\begin{array}{rcl}g-x&=&\frac{1}{3} a'(x-y+1)\\ h-y&=&-\frac{2}{3}a'(x-y+1)\end{array}\right.$ soit $\left\{\begin{array}{rcl}g&=&\frac{1}{3}a'(x-y+1)+x\\h&=&-\frac{2}{3}a'(x-y+1)+y\end{array}\right.$
$G$ est invariant si ses coordonnées vérifient la relation établie en 1) soit $g-h+1=0$ ce qui donne :
$\frac{1}{3}a'(x-y+1)+x-[-\frac{2}{3}a'(x-y+1)+y]+1=0$
$\frac{1}{3}a'(x-y+1+2x-2y+2)+x-y+1=0$
$a'(x-y+1)+(x-y+1)=0$
Donc $a'=-1$ et $a=1-a'=2$
1) J'ai trouvé comme réponse : $x-y+1=0$. Votre réponse est à revoir.
2) Le vecteur $\overrightarrow{MM'}$ a pour coordonnées : $\left(\begin{matrix}\frac{4x}{3}-\frac{y}{3}+\frac{1}{3}-x\\-\frac{2x}{3}+\frac{5y}{3}-\frac{2}{3}-y\end{matrix}\right)$ = $\left(\begin{matrix}\frac{1}{3} (x-y+1)\\-\frac{2}{3}(x-y+1)\end{matrix}\right)$
Donc $Y_{\overrightarrow{MM'}}=-2X_{\overrightarrow{MM'}}$. Le vecteur$\overrightarrow{MM'}$ est donc colinéaire au vecteur de coordonnées (1,-2) et donc sa direction est fixe.
3) Soit $G$ de coordonnées $(g,h)$ le barycentre cherché.
$a\overrightarrow{GM}+a'\overrightarrow{GM'}=\overrightarrow{0}$
$a\overrightarrow{GM}+a'(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MM'})=\overrightarrow{0}$
$(a+a')\overrightarrow{GM}+a'\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{0}$ soit $\overrightarrow{GM}+a'\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{0}$
Donc $\overrightarrow{MG}=a'\overrightarrow{MM'}$
En reprenant les coordonnées de $\overrightarrow{MM'}$ obtenues à la question précédente, on a donc :
$\left\{\begin{array}{rcl}g-x&=&\frac{1}{3} a'(x-y+1)\\ h-y&=&-\frac{2}{3}a'(x-y+1)\end{array}\right.$ soit $\left\{\begin{array}{rcl}g&=&\frac{1}{3}a'(x-y+1)+x\\h&=&-\frac{2}{3}a'(x-y+1)+y\end{array}\right.$
$G$ est invariant si ses coordonnées vérifient la relation établie en 1) soit $g-h+1=0$ ce qui donne :
$\frac{1}{3}a'(x-y+1)+x-[-\frac{2}{3}a'(x-y+1)+y]+1=0$
$\frac{1}{3}a'(x-y+1+2x-2y+2)+x-y+1=0$
$a'(x-y+1)+(x-y+1)=0$
Donc $a'=-1$ et $a=1-a'=2$
Re: application affine
Merci infiniment Job