Bonjour, je voudrais déterminer les primitives des fonctions suivantes sans utiliser primitive par parties:
1°/ $f(x)=$$x(2x+1)^{101}$
2°/ $f(x)=$$\frac{x^{3}}{3}$$(x^{2}+1)^{103}$
primitive
Re: primitive
Bonjour
1) $x= \frac{1}{2}(2x+1)-\frac{1}{2}$ donc $f(x)=\frac{1}{2} (2x+1)(2x+1)^{101} -\frac{1}{2} (2x+1)^{101}=\frac{1}{2} (2x+1)^{102} -\frac{1}{2} (2x+1)^{101}$
$F(x)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{103}\times \frac{1}{2} (2x+1)^{103}-\frac{1}{2} \times \frac{1}{102} \times \frac{1}{2}(2x+1)^{102}$
$F(x)=\frac{1}{4} (2x+1)^{102} [\frac{1}{103}(2x+1)-\frac{1}{102}]=\frac{1}{4} (2x+1)^{102} (\frac{2x}{103} -\frac{1}{103\times 102})$
2) $\frac{x^3}{3} =\frac{1}{3}[x(x^2+1)-x]$ donc $f(x)=\frac{1}{3} [x(x^2+1)^{104} -x(x^2+1)^{103}]$
$F(x)=\frac{1}{3} [\frac{1}{105}\times \frac{1}{2} (x^2+1)^{105} -\frac{1}{104} \times \frac{1}{2} (x^2+1)^{104}]$
$F(x)=\frac{1}{6} (x^2+1)^{104}[\frac{1}{105}(x^2+1)-\frac{1}{104}]=\frac{1}{6} (x^2+1)^{104}[\frac{x^2}{105}-\frac{1}{105\times 104}] $
1) $x= \frac{1}{2}(2x+1)-\frac{1}{2}$ donc $f(x)=\frac{1}{2} (2x+1)(2x+1)^{101} -\frac{1}{2} (2x+1)^{101}=\frac{1}{2} (2x+1)^{102} -\frac{1}{2} (2x+1)^{101}$
$F(x)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{103}\times \frac{1}{2} (2x+1)^{103}-\frac{1}{2} \times \frac{1}{102} \times \frac{1}{2}(2x+1)^{102}$
$F(x)=\frac{1}{4} (2x+1)^{102} [\frac{1}{103}(2x+1)-\frac{1}{102}]=\frac{1}{4} (2x+1)^{102} (\frac{2x}{103} -\frac{1}{103\times 102})$
2) $\frac{x^3}{3} =\frac{1}{3}[x(x^2+1)-x]$ donc $f(x)=\frac{1}{3} [x(x^2+1)^{104} -x(x^2+1)^{103}]$
$F(x)=\frac{1}{3} [\frac{1}{105}\times \frac{1}{2} (x^2+1)^{105} -\frac{1}{104} \times \frac{1}{2} (x^2+1)^{104}]$
$F(x)=\frac{1}{6} (x^2+1)^{104}[\frac{1}{105}(x^2+1)-\frac{1}{104}]=\frac{1}{6} (x^2+1)^{104}[\frac{x^2}{105}-\frac{1}{105\times 104}] $