Suite / Fonction

[youcef-ait]

Bonjour,

L'élève est en Terminal S.





Exo 69 :

L'équation de la tangente en O des fonctions f et g sont respectivement :
y = x
y = -x

Donc au point O, les tangentes sont symétriques ?
Je ne sais pas comment le dire


Exo 81 :

1.
U1 = 1
U2 = e
U3 = e^3
U4 = e^6

2.
Sn-1 = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1)

On pose la propriété Pn suivante : " Pour n >= 2; Un = e^Sn-1 "

Initialisation :

Pour n = 2, U2 = e
et e^S1 = e^1 = e = U2

Hérédité :

Pn est vraie pour un rang n fixé, montrons que Pn+1 est vraie :

Un+1 = Un. e^n d'après l'hypothèse de récurrence Un = e^Sn-1
Un+1 = e^Sn-1 . e^n
Un+1 = e. e^2. e^3...e^(n-1). e^n
Un+1 = e^Sn

Conclusion :

Pn est vraie pour tout n >= 2

3.
Un = e^Sn-1
Un = e. e^2. e^3...e^(n-1)

Un est la somme des (n-1) termes d'une suite géométrique de raison e et de premier terme e, donc :

Un = e . (1 - e^(n-1))/ (1 - e)

J'ai un doute sur l'hérédité et la question 3.

Merci à vous Job.

[Job]

Bonjour

Exercice 69
Puisque le repère est orthonormé, les tangentes sont perpendiculaires. On peut également dire qu'elles sont symétriques par rapport à chacun des axes.

Exercice 81
Pour la question 2, l'hérédité est correcte bien que la rédaction ne soit pas très bonne.
$u_{n+1}=e^{S_{n-1}}\times e^n =e^{S_{n-1}+n}$ et $S_{n-1}+n=\sum_{k=1}^{n-1}k+n=\sum_{k=1}^n=S_n$

La question 3 est fausse, vous avez mélangé somme et produit.
$u_n=e^{S_{n-1}}$
$S_{n-1}=\sum_{k=1}^{n-1} k$ est la somme de $(n-1)$ termes d'une suite arithmétique, de raison 1.
$S_{n-1} =\frac{(n-1)(n-1+1)}{2}$ donc $u_n=e^{\frac{n(n-1)}{2}}$