Exercice 4 : Suite

[youcef-ait]

Rererebonjour,

Pour la partie A c'est un algo, donc on va directement à la partie B.



Je rappelle que :

Uo = 2 avec Un+1 = (2Un + Vn) / 3
Vo = 10 avec Vn+1 = (Un + 3Vn) / 4

Partie B :

1.
a) Le calcul est évident.

b) On a : Wn = Vn - Un

Pn : " Wn = 8. (5/12)^n "

Initialisation :

Pour n = 0, Pn est vraie.

Hérédité :

Wn+1 = Vn+1 - Un+1 = (5/12).Wn = 8.(5/12)^(n+1)

Conclusion :

Pn est vrai pour tout n appartenant à N.

2.
a)
Un+1 - Un = (1/3). (Vn - Un) or Vn - Un = 8.(5/12)^(n) > 0
Donc : Un+1 > Un
Donc : Un est croissante.

Vn+1 - Vn = (1/3). (Un - Vn) or Un - Vn = -8.(5/12)^(n) < 0
Donc : Vn+1 < Vn
Donc : Vn est décroissante.

b)
Vn - Un > 0 <=> Vn > Un :

Un est croissante donc elle est majorée par le premier terme Vo de Vn
Par conséquent : Un < 10

Vn est décroissante et donc minorée par le premier terme Uo de Un
Par conséquent : Vn > 2

c)
Un est croissante et majorée, Vn est décroissante et minorée, donc Un et Vn convergent.

3.

On appelle l et l' les limites respectives de Un et Vn
Lim Un = l
Lim Vn = l'
Lim (Vn - Un) = Lim 8.(5/12)^n = 0
Donc Lim (Vn - Un) = l' - l = 0 <=> l' = l.

4.

Pn : " tn = 3.Un + 4.Vn = cste "

Initialisation :

to = 46 = cste

Hérédité :

tn+1 = 3.Un+1 + 4.Vn+1 = 2.Un + Vn + Un + 3.Vn = 3Un + 4Vn = tn

Conclusion :

Pn est vraie pour tout n appartenant à N.

4.

tn est constante donc :
tn = to = 46

3.Lim Un = 3l
4.Lim Vn = 4l'

Comme l = l' donc :
Lim tn = tn = to = 3Lim Un + 4Lim Vn = 3l + 4l = 46
7l = 46
l = 46/7

Voilà pour ce dernier. Merci à vous.

[Job]

1. (b) La récurrence est inutile d'après le calcul précédent $w_{n+1}=\frac{5}{12} w_n$ donc il s'agit d'une suite géométrique de raison $\frac{5}{12}$ et de premier terme $w_0=v_0-u_0=8$ d'où la réponse.

2. (a) Pour la suite $(v_n)$, le coefficient est $\frac{1}{4}$ et non $\frac{1}{3}$ (faute de recopiage sans doute)

2. (b) Pour la rédaction : $\forall n\in {\mathbb N}, u_n\leq v_n$. Or la suite $(v_n)$ est décroissante donc $\forall n \in {\mathbb N},\ v_n\leq v_0$. On en déduit que $\forall n \in {\mathbb N},\ u_n\leq v_0$
C'est la décroissance de $(v_n)$ qui intervient et non la croissance de $(u_n)$.
Même raisonnement pour l'autre suite.

Pour le reste ça va.