J'aimerai savoir si ce qui est fait est correct, et j'aimerai avoir de l'aide sur certains points :
1.
a) On a f '(x) = 2 - (1/5)x
f est croissante sur [0; 10] avec f ([0; 10]) = [0; 10]
f est décroissante sur [10; 20] avec f ([10; 20]) = [0; 10]
b) Sur [0; 10] f est continue strictement croissante donc f réalise une bijection de [0; 10] sur [0; 10], par conséquence quelque x soit appartenant à [0; 10] f(x) appartient à [0; 10].
2. On pose Un+1 = f(Un) avec f(x) = 2x - (1/10) x²
Pn : 0 <= Un <= Un+1 <= 10
Initialisation :
Pour n = 0 : sans s'attarder, vrai.
Hérédité :
On sait que quelque soit x appartenant à [0; 10] f(x) appartient à [0; 10] de plus f est continue et strictement croissante sur cet intervalle donc Pn+1 est vraie.
Conclusion :
Pn est vraie quelque soit n appartenant à N.
3.
Un est croissante et majorée par 10 donc elle est convergente. Si on pose l sa limite, l vérifie l'équation :
l = (1/10)l. (20-l) <=> l = 10
4.
Non il ne pourra pas, car en 2015 on aura atteint le maximum de téléviseurs au nombre de 10 M.
Voilà et merci de votre future aide.
