1.a) Vn = Un+1 / Un
On trouve aisément par le calcul que :
Vn = (1/2).(1+ 1/n)²
lim Vn = 1/2
b) On pose la propriété suivante : "Pn : n > 0 : Vn > 1/2"
Initialisation :
n = 1, V1 = 1 > 1/2
Hérédité :
Pn est vraie pour un rang n fixé, montrons que Pn+1 est vraie :
Vn = f(n) avec f(x) = (1/2).(1+1/x)²
On sait que f est décroissante et minorée par 1/2 donc quelque soit n appartenant à N*, Vn > 1/2.
J'ai un énorme doute sur le fait que ceci réponde à l'hérédité, enfin vous me direz ce que vous en penserez.
Conclusion :
Pn est vraie quelque soit n appartenant à N*.
c) Vn < 3/4
(1/2). (1+1/n)² < 3/4
(1+1/n)² < 3/2
après simplification on arrive à :
n² - 4n - 2 > 0
On prend seulement la racine positive : 2 + racine(6)
n² - 4n - 2 est positif à l’extérieur des racines, on déduit donc que pour :
n >= 5 on a : Vn <3/4
d) Vn < 3/4
on a immédiatement :
Un+1 < 3/4. Un
2.a) On pose la propriété suivante : "Pn : n >= 5 : Un <= (3/4)^(n-5). U5"
Initialisation :
n = 5, U5 <= (3/4)^0. U5
U5 <= U5
Hérédité :
Pn est vraie pour un rang n fixé, montrons que Pn+1 est vraie :
Un <= (3/4)^(n-5). U5
3/4. Un <= (3/4).(3/4)^(n-5). U5
3/4. Un <= (3/4)^(n+1-5). U5
Un+1 < 3/4. Un <= (3/4)^(n+1-5). U5
Un+1 <= (3/4)^(n+1-5). U5
Conclusion :
Pn est vraie quelque soit n >= 5.
b) Sn = U5 + U6 + ... + Un
on a montré que : Un+1 < 3/4. Un
U5 < U5
U6 < 3/4. U5
U7 < 3/4. U6 < (3/4)². U5
...
Un < 3/4. Un-1 < (3/4)^(n-5). U5
donc :
Sn <= U5 + 3/4. U5 + (3/4)². U5 + ... + (3/4)^(n-5). U5
Sn <= U5(1 + 3/4 + (3/4)² + ... + (3/4)^(n-5))
c) 1 + 3/4 + (3/4)² + ... + (3/4)^(n-5) est la somme d'une suite géométrique de (n-4) termes, de raison 3/4 et de premier terme 1, donc :
1 + 3/4 + (3/4)² + ... + (3/4)^(n-5) = (1 - (3/4)^(n-4))/ (1 - 3/4)
<=> (1 - (3/4)^(n-4))/ (1 - 3/4) = 4. (1 - (3/4)^(n-4))
On a :
Sn <= U5.4. (1 - (3/4)^(n-4)) et on a : (1 - (3/4)^(n-4)) > 1 quelque soit n >= 5
Donc :
Sn <= U5.4
3. Sn+1 - Sn = Un+1 en simplifiant rapidement les termes précédents
Sn+1 - Sn = (n+1)²/ 2^(n+1) > 0 quelque soit n >= 5
Sn est croissante et majorée par 4.U5, donc Sn est convergente.
Désolé pour ce long DM, et désolé encore de vous prendre votre temps, c'est juste que je ne suis pas très sûr de mes résultats bien qu'ils ont l'air d'être cohérents. Merci à vous.
