1. a) Si (Un) est convergente alors si on appelle l sa limite, l est solution de l'équation :
l = 1/3. l + 23/27
l = 23/18
b) On pose la propriété suivante : "Pn : Un > 23/18"
Initialisation :
Pour n = 0, on a : Uo = 2 > 23/18
Héridité :
Pn est vraie pour un rang n fixé, donc montrons que Pn+1 est vraie :
Un > 23/18
1/3. Un > 23/18 > 23/18 . 1/3
1/3. Un + 23/27 > 23/18 + 23/27 > 23/18 . 1/3 + 23/27
1/3. Un + 23/27 > 23/18 + 23/27 > 23/18
Un+1 > 23/18
Il y avait peut-être plus simple en posant Un+1 = f(Un) mais je n'ai pas réussi à voir que Un > 23/18, on sait que f est croissante, mais que peut-on en déduire ?
Conclusion :
Pn est vraie quelque soit n appartenant à N.
c) Un + 1 - Un = 1/3. Un + 23/27 - Un
Un + 1 - Un = -2/3. Un + 23/27
Un + 1 - Un = -18/27. Un + 23/27
Un + 1 - Un = 18/27. (23/18 - Un)
Comme Un > 23/18 donc Un + 1 - Un < 0 donc Un + 1 < Un
(Un) est donc décroissante et minorée, elle est donc convergente et sa limite vaut : l = 23/18
Faut-il montrer sa limite ou simplement réutiliser la question 1.a) ?
2.a) On pose Sn = somme (k=2 à n+1) 1/10^k
Sn est la somme d'une suite géométrique de n termes, de raison 1/10 et de premier termine 1/10², donc :
Sn = 1/100. ((1-1/10)^n)/(1-1/10)
Sn = 1/100. ((1-1/10)^n)/(9/10)
Sn = 1/90. (1-1/10)^n
b) Vn = 1.2777777....
Vn = 1.2 + 0.0777....
Vn = 1.2 + 0.07 + 0.007 + 0.0007 + .....
Vn = 1.2 + 7. 1/10² + 7. 1/10^3 + .....
Vn = 1.2 + 7. (1/10² + 1/10^3 + 1/10^4 + ...)
Vn = 1.2 + 7. Sn
Vn = 1.2 + 7/90. (1-1/10)^n
Vn = 108/90 + 7/90. (1-1/10)^n
lim Vn = (108+7)/90 = 115/90 = 23/18 est bien rationnel.
Voilà, pour cet exercice, aussi, si vous voyez des erreurs ou des manières plus simple d'expliquer je suis preneur. Merci à vous.
