Bonjour,
on m'a demandé de l'aide quant à une démonstration de récurrence de cette suite :
Uo = 1/2
Un+1 = Un² - Un + 1
On doit démontrer que quelque soit n, on a (Pn) 1/2 <= Un <= 1.
Donc pour initialisation on passe, elle nous permet de dire que (Pn) est vrai pour un certain n fixé.
Pour l'hérédité, j'ai utilisé l'hypothèse de récurrence en disant qu'on a :
1/2 <= Un <= 1
donc :
1/4 <= Un² <= 1
-1/4 <= Un² - Un <= 0
3/4 <= Un² - Un + 1 <= 1
3/4 <= Un+1 <= 1
1/2 < 3/4 <= Un+1 <= 1
1/2 <= Un+1 <= 1
Donc (Pn+1) est vraie et par conséquent (Pn) est vraie quelque soit n.
Mais on a mis en doute quant à l'utilisation de l'hypothèse de récurrence. Enfin pouvez-vous m'éclaircir svp. Merci.
Récurrence
Re: Récurrence
Bonjour
Effectivement votre démonstration comporte une erreur (attention à l'addition d'inégalités)
Avec l'hypothèse de récurrence on a :
$\frac{1}{4} \leq u_n^2 \leq 1$
$-1\leq -u_n \leq -\frac{1}{2}$
$\frac{1}{4}-1+1\leq u_n^2-u_n+1\leq 1-\frac{1}{2} +1$ soit $\frac{1}{4}\leq u_{n+1}\leq \frac{3}{2}$
On ne peut donc pas d conclure.
La récurrence est une bonne idée mais il faut procéder autrement.
$u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f$ définie sur ${\mathbb R}$ par $f(x)=x^2-x+1$
$f'(x)=2x-1$ donc sur l'intervalle $[\frac{1}{2} , 1]$, $f$ est continue, strictement croissante donc
$f([\frac{1}{2},1])=[f(\frac{1}{2}) , f(1)]=[\frac{3}{4} , 1]$
Par conséquent si $u_n\in [\frac{1}{2},1]$ alors $u_{n+1}=f(u_n)\in [\frac{3}{4} , 1]\subset [\frac{1}{2},1]$
L'initialisation est immédiate.
Effectivement votre démonstration comporte une erreur (attention à l'addition d'inégalités)
Avec l'hypothèse de récurrence on a :
$\frac{1}{4} \leq u_n^2 \leq 1$
$-1\leq -u_n \leq -\frac{1}{2}$
$\frac{1}{4}-1+1\leq u_n^2-u_n+1\leq 1-\frac{1}{2} +1$ soit $\frac{1}{4}\leq u_{n+1}\leq \frac{3}{2}$
On ne peut donc pas d conclure.
La récurrence est une bonne idée mais il faut procéder autrement.
$u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f$ définie sur ${\mathbb R}$ par $f(x)=x^2-x+1$
$f'(x)=2x-1$ donc sur l'intervalle $[\frac{1}{2} , 1]$, $f$ est continue, strictement croissante donc
$f([\frac{1}{2},1])=[f(\frac{1}{2}) , f(1)]=[\frac{3}{4} , 1]$
Par conséquent si $u_n\in [\frac{1}{2},1]$ alors $u_{n+1}=f(u_n)\in [\frac{3}{4} , 1]\subset [\frac{1}{2},1]$
L'initialisation est immédiate.
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youcef-ait
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Re: Récurrence
Je vous remercie pour votre réponse rapide, j'ai effectivement fait l'erreur de signe ce qui m'arrive très souvent... Merci de m'avoir éclairci sur l'autre méthode.