Racines entières d'un polynôme

[Shareman]

Bonjour,

Voici un petit exercice sur le thème de la "recherche" des racines entières d'un polynôme.

Soit l'équation polynomiale suivante : $30x^5+121x^4+88x^3-22x^2-22x-3=0,$
montrer que si elle possède une solution entière, elle appartient à l'ensemble : $E=\{-3;-2;-1;1;2:3\}.$
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$30x^5+121x^4+88x^3-22x^2-22x-3=0\Longleftrightarrow x(30x^4+121x^3+88x^2-22x-22)=3$
Avec cette écriture on voit que $x|3\Longrightarrow |x|\le 3.$
En conclusion, si une solution dans $\mathbb{Z}$ existe elle appartient à E. CQFD ?

Merci pour la réponse,
@+

[Job]

Bonjour

Quel est le problème ? L'équivalence est correcte donc si $x$ est un entier, les 2 facteurs sont des entiers et $x$ est un diviseur de 3
On peut même dire que $x\in \{-3, -1, 1, 3\}$

[Shareman]

Merci pour la réponse !
Dans la cas ou le terme constant est un entier, la solution est à chercher dans l'ensemble de ces diviseurs ?

@+

[Job]

Merci pour la réponse !
Dans la cas ou le terme constant est un entier, la solution est à chercher dans l'ensemble de ces diviseurs ?

@+

Seulement pour avoir une solution entière

[Job]

On peut voir d'après le second facteur que $x$ ne peut pas avoir une valeur positive car le second facteur doit être aussi un diviseur de 3.
Il suffit donc d'essayer $x=-1$ et le second facteur doit être (-3) ou $x=-3$ et le second facteur égal à (-1).