Bonsoir,
J'ai un exercice sur la géométrie dans l'espace à faire mais où je bloque à la methode 1, pourriez vous m'aidez s'il vous plait . Merci
ABCDEFG est un cube. I,J,K,L sont les milieux respectifs des segments [AE], [BG], [EG], [AB].
On se propose de démontrer de deux façons que les points I,J,K et L sont coplanaires.
Methode 1
on note M le milieu de [IJ]
a) démontrer vectoriellement que M est aussi le milieu de [KL]
alors je suppose Chasles mais je n'est troujours pas reussi a trouver.
b) En deduire que I , J, K et L sont coplanaires.
Methode 2
On se place dans le repére ( A,AB,AD,AE)
a) Ecrire chacun des vecteurs IJ,IK,IL en fonction des vecteurs AB,AD et AE
b) En déduire que les points I,J,K,L sont coplanaires
c) Que peut-on en dire du quadrilatère ILJK?
J'ai fait :
a)
MK+ML=0
IM+IL-IK+IM
geometrie dans l'espace
Re: geometrie dans l'espace
MK=IK-1/2IJ
ML=1/2 IJ+JL
MK+ML=IK-1/2IJ+1/2IJ +JL
MK+ML+IK+JL
or IK=-1/2IJ
JL=1/2IJ
Donc MK+ML=0
ML=1/2 IJ+JL
MK+ML=IK-1/2IJ+1/2IJ +JL
MK+ML+IK+JL
or IK=-1/2IJ
JL=1/2IJ
Donc MK+ML=0
Re: geometrie dans l'espace
Bonsoir
Comme je n'ai pas la figure j'ai un petit problème pour la disposition des sommets du cube. Quelles sont les 3 arêtes issues du sommet A ?
Comme je n'ai pas la figure j'ai un petit problème pour la disposition des sommets du cube. Quelles sont les 3 arêtes issues du sommet A ?
Re: geometrie dans l'espace
Bonsoir on a : ABCD EFGH avec K milieu de EG et J milieu BG ,L milieu de AB et I milieu de AE
Re: geometrie dans l'espace
Méthode 1
a) $\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IE}+\overrightarrow{EK}=\overrightarrow{MI}+\frac{1}{2} \overrightarrow{AE}+\frac{1}{2}\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{MI}+\frac{1}{2} \overrightarrow{AE}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FG})$
$\overrightarrow{LM}=\overrightarrow{LB}+\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{JM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{JM}=\frac{1}{2} \overrightarrow{AB} +\frac{1}{2} (\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FG})+\overrightarrow{JM}$
En comparant les 2 sommes : $\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{JM}$ , $\frac{1}{2} \overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BF}$ , $\frac{1}{2}\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
On en déduit que les 2 sommes sont égales donc $\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{LM}$ et $M$ est donc le milieude $[KL]$.
b) $[IJ]$ et $[KL]$ ayant même milieu, $IKJL$ est un parallélogramme donc les 4 points $I,J,K,L$ sont coplanaires.
a) $\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IE}+\overrightarrow{EK}=\overrightarrow{MI}+\frac{1}{2} \overrightarrow{AE}+\frac{1}{2}\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{MI}+\frac{1}{2} \overrightarrow{AE}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FG})$
$\overrightarrow{LM}=\overrightarrow{LB}+\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{JM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{JM}=\frac{1}{2} \overrightarrow{AB} +\frac{1}{2} (\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FG})+\overrightarrow{JM}$
En comparant les 2 sommes : $\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{JM}$ , $\frac{1}{2} \overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BF}$ , $\frac{1}{2}\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
On en déduit que les 2 sommes sont égales donc $\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{LM}$ et $M$ est donc le milieude $[KL]$.
b) $[IJ]$ et $[KL]$ ayant même milieu, $IKJL$ est un parallélogramme donc les 4 points $I,J,K,L$ sont coplanaires.
Re: geometrie dans l'espace
desoler, oui c'est cela et F en haut de B
Re: geometrie dans l'espace
bonsoir,
merci , j'ai une derniere question a la methode 2)c) le quadrillatére IJKL est un parallélogramme car IL=KJ.?
merci , j'ai une derniere question a la methode 2)c) le quadrillatére IJKL est un parallélogramme car IL=KJ.?
Re: geometrie dans l'espace
Si vous avez démontré que $\overrightarrow{IL}=\overrightarrow{KJ}$ alors $ILJK$ est un parallélogramme. (Attention à l'ordre des points quand on nomme le parallélogramme)