Bonjours job,
Je voudrais de l'aide pour cet exercice. Merci d'avance.
Soit $(u_n)$ une suite définie par : $u_1=\frac{3}{2}$ et $u_{n+1}= \frac{1}{2}(u_n +\frac{3}{u_n})$
1. Déterminer $u_2$ et $u_3 $
2. Démontrer que $ ∀ n∈N*, \frac{3}{2}≤u_n≤2$.
3. Montrer que si $u_n$ converge, sa limite est $\sqrt{3}$.
4. Soit $t_n$ définie pour $n≠0 \ et \ n≠1$ par : $t_n=u_n-\sqrt{3}$.
a. Montrer que $t_{n+1}=\frac{(u_n-\sqrt{3})^2}{2u_n }$ pour tout entier naturel n non nul et différent de 1.
b. En déduire que $u_n≥\sqrt{3}$ pour tout entier naturel n non nul et différent de 1.
c. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul et différent de 1: $0≤t_n≤\frac{1}{2}$.
d. En déduire que pour $n≠0 \ et \ n≠1 : 0 ≤ t_{n+1}≤\frac{1}{6}t_{n}$ puis $0≤t_n≤(\frac{1}{6})^{n-1} t_1$.
e. En déduire la limite de $t_n \ et \ \ u_n $.