Bonjour, si je viens à vous aujourd'hui c'est car j'éprouve quelque difficulté à résoudre mon DM. Plus particulièrement ces question, 1(b), 2(a), 2(d) et 2(e) pour les autres question je pense être en mesure de les réalisé seul mais j'aurais besoin d'un peu d'aide pour les autres. Merci
Dans tous l'exercice, on pose I0=$\int_{1}^{e}f(t)dt$ et pour tout n appartenant au naturel 0 exclus, In=$\int_{1}^{e}t(lnt)^ndt$
1(a) Calculer I0
(b) Montrer que pour tout entier naturel n, In>=0.
(c) Montre que la suite (In)$_{n>=0}$ est décroissante puis qu'elle est convergente.
2(a) Pour tout entier naturel n, soit fn la fonction définie sur [1;e] par:
Pour tout t appartenant [1;e], fn(t)= (lnt)$^{n+1}$
On note fn' la dérivée de fn. Pour tout t appartenant [1;e], calculer fn'(t)
(b) A l'aide d'une intégration par parties, étalir que pour tout entier naturel n, la relation (*)suivante:
2I$_{n+1}$ + (n+1)In=e$^{2}$ (*)
(c) En déduire la valeur de I1
(d) En Utilisant la relation (*) et la décroissance de la suite (In)$_{n>=0}$ établir pour tout entier naturel n, l'encadrement suivant:
$\frac{e^{2}}{n+3}$<= In <= $\frac{e^{2}}{n+2}$
(e) En déduite les limites respectives des deux suites (In)$_{n>=0}$ et (n*In)$_{n>=0}$
Devoir Maison Intégral
Re: Devoir Maison Intégral
Bonjour
1(b) Sur l'intervalle [1 , e] la fonction $\ln$ est positive donc $t(\ln t)^n\geq 0$ et l'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle [a , b] avec a<b est positive.
2(a) La fonction est de la forme $u^{n+1}$ avec $u(t)=\ln (t)$ et $u'(t)=\frac{1}{t}$
$f_n'(t)=(n+1)(\frac{1}{t})(\ln(t))^n$
2(d) La suite étant décroissante $2I_n+nI_{n-1}\geq 2I_n+nI_n$ soit $e^2\geq (n+2)I_n$
Donc $I_n\leq \frac{e^2}{n+2}$
$2I_{n+1}+(n+1)I_n\leq 2I_n+(n+1)I_n$ soit $e^2\leq (n+3)I_n$
Donc $I_n\geq \frac{e^2}{n+3}$
2(e) $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{e^2}{n+3}=\lim_{n\to +\infty}\frac{e^2}{n+2} =0$ donc $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}I_n=0$
$\frac{n}{n+3}e^2\leq n I_n \leq \frac{n}{n+2}e^2$
$\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\frac{n}{n+3}=\lim_{n\to +\infty} \frac{n}{n+2}=1$ donc $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} n I_n=e^2$
1(b) Sur l'intervalle [1 , e] la fonction $\ln$ est positive donc $t(\ln t)^n\geq 0$ et l'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle [a , b] avec a<b est positive.
2(a) La fonction est de la forme $u^{n+1}$ avec $u(t)=\ln (t)$ et $u'(t)=\frac{1}{t}$
$f_n'(t)=(n+1)(\frac{1}{t})(\ln(t))^n$
2(d) La suite étant décroissante $2I_n+nI_{n-1}\geq 2I_n+nI_n$ soit $e^2\geq (n+2)I_n$
Donc $I_n\leq \frac{e^2}{n+2}$
$2I_{n+1}+(n+1)I_n\leq 2I_n+(n+1)I_n$ soit $e^2\leq (n+3)I_n$
Donc $I_n\geq \frac{e^2}{n+3}$
2(e) $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{e^2}{n+3}=\lim_{n\to +\infty}\frac{e^2}{n+2} =0$ donc $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}I_n=0$
$\frac{n}{n+3}e^2\leq n I_n \leq \frac{n}{n+2}e^2$
$\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\frac{n}{n+3}=\lim_{n\to +\infty} \frac{n}{n+2}=1$ donc $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} n I_n=e^2$
Re: Devoir Maison Intégral
Bonsoir, déjà merci de m'avoir aidé
Cependant, je n'ai pas bien compris pour la question 2a). Pouvez vous détaillez d'avantage s'il vous plaît.
Merci
Cependant, je n'ai pas bien compris pour la question 2a). Pouvez vous détaillez d'avantage s'il vous plaît.
Merci