Exercice 1 (Va le urs approchées de e) Dans son Introduction à l'analyse des infiniment petits, le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783)
démontre que le nombre e = exp(1) est égal à: de e
e = lim n -> ∞ (1 + 1/n) ^ n
Le but de cet exercice est de démontrer cette égalité et d'obtenir des valeurs approchées
1. (a) Prouver que pour tout réel x > 0 :
(b) En déduire que pour tout réel x > - 1 :
ln(x) <= x - 1
ln(x + 1) <= x
2. Dans cette question, on se propose de démontrer que, pour tout réel x > - 1 :
x/(x + 1) <= ln(x + 1)
(a) Etudier le sens de variation de la fonction f, définie sur |-1 ] - 1 / (∞) [1 f(x) = x/(x + 1)
(b) En déduire que pour tout réel x > - 1 f(x) < 1 puis que ln(1 - f(x)) <= - f * (x) (c) Conclure.
3. Soient (u_{n}) et (v_{n}) les suites définies pour tout entier n >= 1 par:
u_{n} = (1 + 1/n) ^ n et v_{n} = (1 + 1/n) ^ (n + 1)
(a) En utilisant l'inégalité établie à la question 1, démontrer que pour tout entier n >= 1 :
n * ln(1 + 1/n) <= 1
En déduire que u_{n} <= e
(b) En utilisant l'inégalité établie à la question 2, démontrer que, pour tout entier n >= 1 :
1 <= (n + 1) * ln(1 + 1/n)
En déduire que v_{n} >= e
(c) Démontrer que pour tout n >= 1 v_{n} - u_{n} = u_{n}/n
En déduire que la suite (v_{n} - u_{n}) convergent vers 0 puis que les suites (u_{n}) et (v_{n}) convergent vers e.
On s'appuiera sur le fait que pour tout entier naturel n, u_{n} <= epsilon <= v_{n} (d) On admet que (v_{n} - u_{n}) est décroissante. Écrire un algorithme qui permet de déterminer le plus petit entier n tel que
v_{n} - u_{n} < 10 ^ - 3
Implémenter ce programme sur Python, et répondre à la question.
