Exercice sur les complexes

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Jon83
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Exercice sur les complexes

Message par Jon83 » 30 décembre 2022, 20:28

Bonjour!
Je traite mon dernier exercice de l'année! J'ai déjà résolu la plupart des questions, mais quelques unes me résistent! D'autant plus que la logique séquentielle des questions ne m'apparaît pas évidente ... En voici l'énoncé:
ex_complexes.png
ex_complexes.png (134.75 Kio) Consulté 5950 fois
1) OK
2a) OK
2b) J'ai bien montré le début, mais je n'ai pas réussi à en déduire que (a + conj(a))²+(a + conj(a)-1=0 : je trouve 2a+a^2 + a^3 + 2a^4 ???
2c) j'ai trouvé les 2 solutions de x²+x-1=0 qui sont (-1-sqrt(5)/2 et (-1+sqrt(5))/2.
Pour faire le lien avec la question (2a), j'ai transformé l'expression 1+a+a^2+a^3+a^4 sous sa forme trigonométrique qui donne après simplification 4.cos²(2.pi/5) + 2.cos(2.pi/5) - 1 = 0
Mais je ne vois pas le rapport avec l'équation x^2+x-1=0 ???

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Job
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Re: Exercice sur les complexes

Message par Job » 04 janvier 2023, 16:22

Bonjour

2. b) $(a+\bar a)^2 +(a+\bar a)-1=a^2+\bar a^2 +2a\bar a +a+\bar a -1$

= $a^2+a^3 +2a\bar a +a+a^4 -1$

$a\bar a =|a|^2 =1$ et on retrouve donc le résultat de la question a).

2. c) $(a+\bar a)=2\Re (a) =2\cos \frac{\pi}{5}$

Donc en posant $x=2\cos \frac{\pi}{5}$ on obtient \donc que $2\cos \frac{\pi}{5}$ est solution de l'équation $x^2+x-1=0$

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