Exercice relevé

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Zakariall
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Exercice relevé

Message par Zakariall » 05 novembre 2022, 17:01

Bonsoir tous le monde.

Je suis en terminal spé math et j'ai quelque difficulté avec un exercie qui se trouve pièce jointe et je vais également le récrire.

Soit (Cn​) la suite définie, pour tout entier n⩾1, par :

cn​=n∑k=1 1/k(k+1)(k+2)=1/(1×2×3)​+1/(2×3×4)+...+1/[​n(n+1)(n+2)1]

1. a. Soit k un etnier tel que 1⩽k⩽n.

Montrer que 1/[k(k+1)(k+2)]=1/2[1/k - 1/(k+1)]-1/2[1/(k+1)-1/(k+2)]

b. En déduire une expression simplifiée de cn​.

2.Déterminer lim(n→+∞​) Cn

Merci d'avance de votre aide et je compte sur vous pour m'aiguillier.
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Job
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Re: Exercice relevé

Message par Job » 05 novembre 2022, 17:57

Bonjour

1.a) Dans la somme il suffit de réduire les fractions au dénominateur commun $k(k+1)(k+2)$ puis faire la somme.

1.b) On alors : $\displaystyle c_n=\sum_{k=1}^n [\frac{1}{2}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})-\frac{1}{2} (\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2})]$
$\displaystyle c_n=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^n (\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})-\frac{1}{2} \sum_{k=1}^n (\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2})$

En posant $h=k+1$ la deuxième somme peut s'écrire $\displaystyle \sum_{h=2}^{n+1}(\frac{1}{h}-\frac{1}{h+1})$ soit $\displaystyle \sum_{k=2}^{n+1}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})$

Donc dans $c_n$ tous les termes s'annulent sauf le premier correspondant à $k=1$ et le dernier correspondant à $k=n+1$

$\displaystyle c_n=\frac{1}{2}(\frac{1}{1} -\frac{1}{2}) -\frac{1}{2} (\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})$

Zakariall
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Re: Exercice relevé

Message par Zakariall » 05 novembre 2022, 18:48

Merci beaucoup je crois avoir compris les deux premières question était compliqué je le referais demain a tête froide pour vérifier si c'est bien resté dans ma tête

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