Bonsoir,
esque quelqu'un peut m'aider s'il vous plaît pour ces trois questions ;
La suite (un) est définie sur N par u0=1 et un+1=
3/4 un + 1/4 n + 1
pour n entier naturel
Soit la suite vn définie par vn=un-n pour tout n entier naturel
1. Démontrer que la suite vn est géométrique de raison 3/4
Ici j'ai commencé par calculer vn+1 mais ça bloquait je ne sais pas quoi faire pour continuer
vn+1 = un+1-n
= 3/4*un+1/4n+1-n
Edit
(vn+1)/vn=(un+1-(n+1)) /(un-n)
=((3/4un+1/4n+1) -(n+1)) /(un-n)
=(3/4nu+1/4n+1-n-1)/(n*(u-1))
=(3/4nu-3/4n) /(n*(u-1))
=(3/4n*(u-1)) /(n*(u-1))
=(3/4*(u-1)) /(u-1)
=3/4
2. en déduire que un=
(3/4)^n+ n
Edit
vn=((3/4) ^n+n) -n
=((3^n)/(4^n) +n) -n
=(3^n) /(4^n) +n-n
=(3^n) /(4^n)
3. déterminer la somme S=u0+u1+u2+...+un-1+un en fonction de n
Suites DM
Re: Suites DM
Bonjour
1) $v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)=\frac{3}{4} u_n+\frac{1}{4} n+1-n-1=\frac{3}{4} u_n-\frac{3}{4} n=\frac{3}{4} (u_n-n)$
Soit $v_{n+1}=\frac{3}{4} v_n$
2) $v_0=u_0=1$
$(v_n)$ est géométrique de raison 3/4 et de premier terme $v_0=1$ dons $v_n=(\frac{3}{4})^n$
$u_n=v_n+n=(\frac{3}{4})^n +n$
3) $\displaystyle S=\sum_0^n u_j=\sum_0^n (\frac{3}{4})^j+\sum_0^n j$
Il faut donc appliquer les résultats connus sur la somme des termes d'une suite géométrique et sur la somme des termes d'une suite arithmétique.
1) $v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)=\frac{3}{4} u_n+\frac{1}{4} n+1-n-1=\frac{3}{4} u_n-\frac{3}{4} n=\frac{3}{4} (u_n-n)$
Soit $v_{n+1}=\frac{3}{4} v_n$
2) $v_0=u_0=1$
$(v_n)$ est géométrique de raison 3/4 et de premier terme $v_0=1$ dons $v_n=(\frac{3}{4})^n$
$u_n=v_n+n=(\frac{3}{4})^n +n$
3) $\displaystyle S=\sum_0^n u_j=\sum_0^n (\frac{3}{4})^j+\sum_0^n j$
Il faut donc appliquer les résultats connus sur la somme des termes d'une suite géométrique et sur la somme des termes d'une suite arithmétique.
Re: Suites DM
Bonjour,
"Il faut donc appliquer les résultats connus sur la somme des termes d'une suite géométrique et sur la somme des termes d'une suite arithmétique."
3) $$\sum_{k=0}^n uk=1*(\frac{1-(\frac{3}{4})^n+1}{1-(\frac{3}{4})})$$
"Il faut donc appliquer les résultats connus sur la somme des termes d'une suite géométrique et sur la somme des termes d'une suite arithmétique."
3) $$\sum_{k=0}^n uk=1*(\frac{1-(\frac{3}{4})^n+1}{1-(\frac{3}{4})})$$
Re: Suites DM
$\displaystyle \sum_0^n(\frac{3}{4})^j= \frac{1-(\frac{3}{4})^{n+1}}{1-\frac{3}{4}}=4(1-(\frac{3}{4})^{n+1})$
$\displaystyle \sum_0^n j =\frac{n(n+1)}{2}$
S est la somme de ces 2 termes.
$\displaystyle \sum_0^n j =\frac{n(n+1)}{2}$
S est la somme de ces 2 termes.