Bonsour pouvez vous m'aider svpp
Exercice :
Soit (un) la suite définie par uo =0,7 et, pour tout entier naturel n, on a: un + 1 = 3Un/1+2un .
1. On considère la fonction définie sur [0; +∞[ par :
f(x) = (3x)/(1 + 2x)
a. Etudier les variations de f sur [ 0 ;+infini [.
b. En deduire que x € [0;1] alors f(x) € [0;1] .
2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a 0 <= un<= u n+1 <=1.
b. Que peut-on en déduire concernant la suite (un) ?
Exercice raisonnement par récurrence
Re: Exercice raisonnement par récurrence
Bonjour
Je pense que vous avez faut la première question. et montré que $f$ est croissante.
$u_{n+1}=f(u_n)$
2. a) On montre, par récurrence que $0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 1$
* Initiation
$u_1=0,875$ donc $0\leq u_0\leq u_1\leq 1$
* On suppose, vérifié au rang $n$ : $0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 1$
Puisque $f$ est croissante, elle conserve l'ordre donc $f(u_n)\leq f(u_{n+1})$ soit $u_{n+1}\leq u_{n+2}$
L'ordre est donc vérifié au rang $(n+1)$
D'autre part, si $0\leq x \leq 1$ alors $0\leq f(x) \leq 1$ donc $0\leq u_n\leq 1$ implique $0\leq f(u_n\leq 1$ donc $u_{n+1}\leq 1$
b) La suite est croissante, majorée par 1 donc elle converge.
Je pense que vous avez faut la première question. et montré que $f$ est croissante.
$u_{n+1}=f(u_n)$
2. a) On montre, par récurrence que $0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 1$
* Initiation
$u_1=0,875$ donc $0\leq u_0\leq u_1\leq 1$
* On suppose, vérifié au rang $n$ : $0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 1$
Puisque $f$ est croissante, elle conserve l'ordre donc $f(u_n)\leq f(u_{n+1})$ soit $u_{n+1}\leq u_{n+2}$
L'ordre est donc vérifié au rang $(n+1)$
D'autre part, si $0\leq x \leq 1$ alors $0\leq f(x) \leq 1$ donc $0\leq u_n\leq 1$ implique $0\leq f(u_n\leq 1$ donc $u_{n+1}\leq 1$
b) La suite est croissante, majorée par 1 donc elle converge.