Exercice raisonnement par récurrence

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Drana
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Exercice raisonnement par récurrence

Message par Drana » 20 septembre 2022, 19:11

Bonsour pouvez vous m'aider svpp
Exercice :
Soit (un) la suite définie par uo =0,7 et, pour tout entier naturel n, on a: un + 1 = 3Un/1+2un .

1. On considère la fonction définie sur [0; +∞[ par :

f(x) = (3x)/(1 + 2x)

a. Etudier les variations de f sur [ 0 ;+infini [.

b. En deduire que x € [0;1] alors f(x) € [0;1] .

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a 0 <= un<= u n+1 <=1.

b. Que peut-on en déduire concernant la suite (un) ?

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Job
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Re: Exercice raisonnement par récurrence

Message par Job » 21 septembre 2022, 16:15

Bonjour

Je pense que vous avez faut la première question. et montré que $f$ est croissante.

$u_{n+1}=f(u_n)$

2. a) On montre, par récurrence que $0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 1$
* Initiation
$u_1=0,875$ donc $0\leq u_0\leq u_1\leq 1$
* On suppose, vérifié au rang $n$ : $0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 1$
Puisque $f$ est croissante, elle conserve l'ordre donc $f(u_n)\leq f(u_{n+1})$ soit $u_{n+1}\leq u_{n+2}$
L'ordre est donc vérifié au rang $(n+1)$
D'autre part, si $0\leq x \leq 1$ alors $0\leq f(x) \leq 1$ donc $0\leq u_n\leq 1$ implique $0\leq f(u_n\leq 1$ donc $u_{n+1}\leq 1$

b) La suite est croissante, majorée par 1 donc elle converge.

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