Raisonnement par récurrence

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Madix
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Raisonnement par récurrence

Message par Madix » 11 septembre 2022, 20:24

Bonjour je suis en terminale et ceci est mon DM pour demain je voudrais savoir si quelqu’un aurait l’amabilité et la gentillesse de me le faire pour demain à 14h au plus tard merci beaucoup pour la personne qui le fera et bonne journée


Ex1: démontrer par récurrence que pour n>ou=1
1+3+…+(2n-1)=n^2

Ex2: démontrer par récurrence que pour n>ou=1
1^2-2^2+3^2-…+(-1)^n+1 x n^2 = (-1)^n+1 x n x (n+1)/2



Ex3: une suite(Un) est définie par : U1=1 Un+1= Un+n+2 pour tout n>ou=1
Démontrer par récurrence que pour n>ou=1 Un= n*2+3n-2/2


Ex4: soit la suite(Un) définie par: u0=1 Un+1= √2Un+3 pour tout n>ou=1
Montrer que pour tout n E N 0>ou=Un<ou=3


^2=au carré
/= en fraction

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Re: Raisonnement par récurrence

Message par Job » 12 septembre 2022, 08:57

Bonjour

Exercice 1

a) Pour $n=1$, le dernier terme de la somme est 1 donc l'égalité est vérifiée.

b) On suppose l'égalité vérifiée au rang $n$ soit $1+3+\cdots +(2n-1)= n^2$

Au rang suivant la somme est $1+3+\cdots +[2(n+1)]$
Elle est égale à $1+3+\cdots +(2n-1)+2[(n+1)-1]$
Soit, en utilisant l'hypothèse de récurrence, : $n^2+(2n+1)$
$n^2+2n+1=(n+1)^2$
La proposition est donc vérifiée au rang $(n+1)$

Exercice 3

Pour $n=1), \frac{n^2+3n-2}{2}=1=u_1$ donc l'égalité est vérifiée.

On suppose l'égalité vérifiée au rang $n$.
On a alors $u_{n+1}=\frac{n^2+3n-2}{2}+n+2=\frac{n^2+3n-2+2n+4}{2}$
$u_{n+1}=\frac{n^2+2n+1+3n+1}{2}=\frac{(n+1)^2+3n+3-2}{2}=\frac{(n+1)^2+3(n+1)-2}{2}$
L'égalité est donc vérifiée au rans $(n+1)$

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