Polynôme et complexe

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Marc32
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Polynôme et complexe

Message par Marc32 » 23 février 2022, 21:06

Salut Job ,
j'aurai besoin d'un peu d'aide pour les questions ce devoir stp même si ça prend plusieurs jours pour trouver les réponses.
J'ai écris quelques réponse même si c'est au brouillon.
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Ce que tu vois sur le tableau c'est la réponse à la question 1).
Pour trouver les solutions sous forme exponentielles j'ai calculer le module qui vaut 1.
L'angle est "du type pi/3" mais j'oubli comment utiliser le cadran de trigonométrie pour avoir l'angle exacte.

Z racine de P z^2+z+1=0
Si on pose z=Z^4
On a (Z^4)^2+Z^4+1=0
: Soit Z^8+Z^4+1=0
Donc Z racine de P(x)
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Job
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Re: Polynôme et complexe

Message par Job » 24 février 2022, 15:39

Bonjour Marc

1) J'utilise ce que tu as trouvé.
Avec $\cos \theta_1=-\frac{1}{2} $ et $\sin \theta_1=\frac{\sqrt 3}{2}$ ona a : $\theta_1=\frac{2:pi}{3}$
Donc $z_1=e^{i\frac{2\pi}{3}}$
Même calcul ou utiliser le fait que les 2 racines sont conjuguées $z_2=e^{-i\frac{2\pi}{3}}$

2) Si $z$ est racine de $P$ on a $z^8+z^4+1=0$ soit $(z^4)^2 +z^4+1=0 $ donc $z^4$ est racine de l'équation précédente.

3) On a donc $z^4=e^{i\frac{2\pi}{3}}$ ou $z^4=e^{-i\frac{2\pi}{3}}$
On utilise l'écriture complexe de $z$
On pose $z=re^{i\theta}$ avec $r$ réel strictement positif
On a donc $z^4=r^4e^{i4\theta}$

$r^4e^{i4\theta}= e^{i\frac{2\pi}{3}}$ si et seulement si $r^4=1$ et $4\theta = \frac{2\pi}{3}+k2\pi$ ($k\in{\mathbb Z}$)
$r^4=1$ si et seulement si $r=1$.
$4\theta = \frac{2\pi}{3}+k2\pi$ équivaut à $\theta = \frac{\pi}{6} +k\frac{\pi}{2}$
Les racines sont donc :
$\displaystyle e^{i\frac{\pi}{6}} , e^{i\frac{2\pi}{3}} , e^{i\frac{7\pi}{6}} , e^{i\frac{5\pi}{3}}$

On fait le même genre de calcul avec la deuxième valeur possible pour $z^4$

4) le polynôme $P$ possède 8 racines.

Dans l'ensemble des complexes, un polynôme de degré $n$ possède $n$ racines avec comme convention qu'une racine double (par exemple) correspond à 2 racines.
(Il faut voir comment ceci est énoncé dans le cours des élèves

Marc32
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Re: Polynôme et complexe

Message par Marc32 » 25 février 2022, 12:52

Merci beaucoup pour ton aide Job ,ah oui je me souviens de cette convention merci!

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