devoir maison

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Kévin
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devoir maison

Message par Kévin » 16 février 2022, 19:05

Bonjour je dois réaliser les exercices 68,85,87,89 et 106 mais je n'ai pas bien compris pourriez vous m'aidez s'il vous plait?
Merci d'avance.
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Re: devoir maison

Message par Job » 17 février 2022, 14:50

Bonjour

Exercice 67

Il faut utiliser les règles sur les opérations avec la fonction logarithme
a) logarithme d'un produit :
$\ln (21) =\ln (3\times 7)=\ln 3 +\ln 7$

c) logarithme d'une racine carrée, d'un produit, dune puissance
$\ln (3\sqrt{21} )+\ln (49)=\ln 3 +\ln (\sqrt{3\times 7})+\ln (7^2) =\ln 3 +\frac{1}{2} \ln (3\times 7)+2\ln 7$
$=\ln 3 +\frac{1}{2}\ln 3 +\frac{1}{2} \ln 7+2\ln 7= \frac{3}{2} \ln 3 + \frac{5}{2} \ln 7$

e) logarithme d'un quotient et d'une puissance
$\ln (\frac{343}{27})=\ln (\frac{7^3}{3^3})=\ln (7^3) -\ln (3^3)=3\ln 7 -3\ln 3$

Kévin
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Message par Kévin » 17 février 2022, 18:20

D'accord merci beaucoup j'ai bien réussi la rédaction de cet exercice mais je suis toujours bloqué sur les autres.

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Message par Job » 18 février 2022, 12:37

Exercice 85

b) $\ln (x^2-2x)=\ln 4$ si et element si $x^2-2x=4$
Il reste à résoudre cette équation du second degré.

d) L'équation est définie si $3x-1>0$ et $x>0$ donc si $x>\frac{1}{3}$
L'équation équivaut alors à $\ln [(3x-1)(x)]=\ln (5^2)$
soit $3x^2-x=25$
On résout cette équation du second degré et on vérifie si ces solutions sont bien supérieures à $\frac{1}{3}$

Exercice 87
La fonction ln a pour fonction dérivée la fonction inverse.
a) $f'(x)=\frac{1}{x} +1$ strictement positive sur $]0, +\infty[$

Exercice 89

b) $\ln x \geq 1$ équivaut à $\ln x \geq \ln e$

La fonction ln est strictement croissante donc $\ln x \geq \ln e$ si et seulement si $x\geq e$

c) L'inéquation est définie si et seulement si $x>0$ donc $x\in ]0,+\infty[$
$\ln x >\ln (3x)$ si et seulement si $x>3x$ soit $x<0$
$x<0$ est incompatible avec l'ensemble de définition donc l'inéquation n'a pas de solution.

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Message par Job » 18 février 2022, 16:15

Exercice 106

Connaissant les limites 0 et +l'infini de la fonction ln, pour a) et b), on utilise les opérations somme et produit sur les limites.

c) $h(x)=x\ln x -2x=x(\ln x -2)$
En +l'infini, les 2 facteurs ont pout limite $+\infty$
Dans le cours $\displaystyle \lim_{x\to 0} x \ln x =0$
Donc $\displaystyle \lim_{x\to 0} h(x)=0$

d) $k(x)=4x -(\ln x)^2$
$\displaystyle \lim_{x\to 0} \ln x=-\infty$ donc $\displaystyle \lim_{x\to 0}(\ln x))^2 =+\infty$
Donc $\displaystyle \lim_{x\to 0} k(x)=-\infty$

En + l'infini c'est assez difficile.
$k(x)=(\ln x)^2[4\times \frac{x}{(\ln x)^2}-1] = (\ln x)^2 [4\times (\frac{\sqrt x}{\ln x)})^2 -1]$
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt x}{\ln x} =+\infty$
D'où on déduit $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} k(x)=+\infty$

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Message par Kévin » 18 février 2022, 17:48

Je suis vraiment bloqué avec la rédaction de l'exercice 85 pourriez vous me l'expliquer s'il vous plaît.

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