exponentielle

[nico033]

Bonjour;

Je suis bloqué sur mon exercice sur les fonctions exponentielles, pourriez vous m'aider à le résoudre (par avance merci de votre aide):

soit f la fonction définie pour tout x supérieur à 0 , par f(x) = (exp(x)) / (exp( x) - 1))

dresser tableau de variations (sens de variations et limites) (j'ai réussi à le faire)

soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n différent de 0 par :
un = 1/n (1+exp(1/n) + exp (2/n) + exp (3/n) + .... + exp(n-1/n))

démontrer que tout n appartenant à IN* ,
1+exp(1/n) + exp (2/n) + exp (3/n) + .... + exp(n-1/n) = (1 - e) / (1 - exp(1/n))

en déduire que un - (e - 1) f(1/n)

déterminer la limite de la suite (un)

[Job]

Bonjour

$1+e^{\frac{1}{n}}+e^{\frac{2}{n}}+\cdots +e^{\frac{n-1}{n}}$ est la somme de $n$ termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q=e^{\frac{1}{n}}$. Par conséquent, cette somme est égale à $\frac{1-(e^{\frac{1}{n}})^n}{1-e^{\frac{1}{n}}}=\frac{1-e}{1-e^{\frac{1}{n}}}=\frac{e-1}{e^{\frac{1}{n}}-1}$

$f(\frac{1}{n})=\frac{e^{\frac{1}{n}}}{e^{\frac{1}{n}}-1}$ donc $\frac{1}{e^{\frac{1}{n}}-1}=\frac{f(\frac{1}{n})}{e^{\frac{1}{n}}}$

$u_n=\frac{1}{n}(1+e^{\frac{1}{n}}+e^{\frac{2}{n}}+\cdots +e^{\frac{n-1}{n}})=\frac{(e-1)f(\frac{1}{n})}{ne^{\frac{1}{n}}}$

Je n'ai pas compris "en déduire que $u_n-(e-1)f(\frac{1}{n})$". Est-ce bien une différence à calculer ? ou est-ce un signe = ? et dans ce cas, n'y-a-t-il pas une faute dans la définition de $u_n$ ?

[nico033]

Bonjour,

C'est un signe = excusez moi !!

[Job]

Mais dans ce cas, pour avoir la réponse demandée, il faudrait que dans l'expression de $u_n$, il faudrait que le nombre qui multiplie la somme soit $e^{\frac{1}{n}}$ et non $\frac{1}{n}$

En admettant que ce soit cela, $\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n} =0^+$ et l'étude de $f$ montre que $\lim_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$ donc $\lim_{n\to +\infty} f(\frac{1}{n})=+\infty$ et comme $e-1>0$, $\lim u_n=+\infty$.