Bonjour je ne comprends pas bien cet exercice pourriez-vous m'aider s'il vous plaît. Merci d'avance.
Une urne contient 2 fois plus de boules blanches que de boules noires, toutes indiscernables au toucher. On tire 3 fois de suite une boule de cette urne, avec remise entre chaque tirage. À chaque fois, on note la couleur de la boule tirée.
1. Représenter cette expérience avec un arbre pondéré.
2. Écrire tous les résultats possibles.
3. Calculer la probabilité des événements suivants :
a.A:"les boules tirées ne sont pas toutes de la même couleur"
b.B"il y a au plus une boule noire parmi les boules tirées"
4. A et B sont-ils des événements indépendants ?
Succession d'épreuves indépendantes
Re: Succession d'épreuves indépendantes
Bonjour
À chaque embranchement il y a 2 possibilités : soit la boule tirée est blanche, soit elle est noire.
Comme il y a 2 fois plus de boules blanches que de noires, la probabilité que la boule tirée soit blanche est 2/3 et 1/3 qu'elle soit noire.
C'est vrai pour chaque tirage car il y a remise.
2. Il y a 8 résultats possibles : (B,B,B) , (B,B,N) ...
3. a. La probabilité que les 3 boules tirées soient blanches (cela correspond au chemin (B,B,B)) est égale à $\frac{2}{3}\times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3}=\frac{8}{27}$
De même la probabilité que les 3 boules soient noires est $\frac{1}{3}\times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} =\frac{1}{27}$
Donc la probabilité que les 3 boules ne soient pas de la même couleur est : $1-(\frac{8}{27} +\frac{1}{27})=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
b. Les résultats possibles sont (B,B,B), (N,B,B), (B,N,B), (B,B,N)
$P(B)=\frac{8}{27} + (\frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3})\times 3 = \frac{8}{27}+(\frac{4}{27})\times 3 = \frac{20}{27}$
4. $A\cap B =\{(N,B,B), (B,N,B), (B,B,N)\}$
D'après le calcul précédent : $P(A\cap B) = \frac{4}{27} \times 3 =\frac{12}{27}$
$P(A) \times P(B)= \frac{2}{3} \times \frac{20}{27}= \frac{40}{81}$
$P(A\cap B) \neq P(A)\times P(B)$ donc $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.
À chaque embranchement il y a 2 possibilités : soit la boule tirée est blanche, soit elle est noire.
Comme il y a 2 fois plus de boules blanches que de noires, la probabilité que la boule tirée soit blanche est 2/3 et 1/3 qu'elle soit noire.
C'est vrai pour chaque tirage car il y a remise.
2. Il y a 8 résultats possibles : (B,B,B) , (B,B,N) ...
3. a. La probabilité que les 3 boules tirées soient blanches (cela correspond au chemin (B,B,B)) est égale à $\frac{2}{3}\times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3}=\frac{8}{27}$
De même la probabilité que les 3 boules soient noires est $\frac{1}{3}\times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} =\frac{1}{27}$
Donc la probabilité que les 3 boules ne soient pas de la même couleur est : $1-(\frac{8}{27} +\frac{1}{27})=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
b. Les résultats possibles sont (B,B,B), (N,B,B), (B,N,B), (B,B,N)
$P(B)=\frac{8}{27} + (\frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3})\times 3 = \frac{8}{27}+(\frac{4}{27})\times 3 = \frac{20}{27}$
4. $A\cap B =\{(N,B,B), (B,N,B), (B,B,N)\}$
D'après le calcul précédent : $P(A\cap B) = \frac{4}{27} \times 3 =\frac{12}{27}$
$P(A) \times P(B)= \frac{2}{3} \times \frac{20}{27}= \frac{40}{81}$
$P(A\cap B) \neq P(A)\times P(B)$ donc $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.
Re: Succession d'épreuves indépendantes
Merci beaucoup, j'ai tout compris.