limite

[syne1]

Bonjour job, je voudrais de l'aide pour ces limites. Merci d'avance.

[Job]

Bonjour syne1

1) $\forall x \neq 0,\ -1\leq \sin \frac{1}{x}\leq 1$ donc $\displaystyle |f(x)|\leq | \frac{\sqrt {1+x^2}-1}{x} |$

Soit $g(x)=\sqrt{1+x^2}$;
$\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}=\frac{g(x)-g(0)}{x-0}$
Quand $x$ tend vers 0 , $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{g(x)-g(0)}{x-0} =g'(0)$
$g'(x)=\frac{2x}{2\sqrt {1+x^2}}$ donc $g'(0)=0$

On en déduit que $\displaystyle \lim_{x\to 0} f(x)=0$

Je poursuivrai demain.

[syne1]

D'accord Merci job

[Job]

2) Il faut se ramener à une limite en 0. On pose $x=\frac{\pi}{6} +y$ et $y$ tend vers 0.

$1-2\sin x =1-2( \sin \frac{\pi}{6}+y)=1-2(\sin \frac{\pi}{6}\cos y +\sin y \cos \frac{\pi}{6})$
$=1-2(\frac{1}{2}\cos y+\frac{\sqrt 3}{2} \sin y)=1-\cos y -\sqrt 3 \sin y$

$\tan (6x) =\tan (\pi +6y)=\tan (6y)$

La limite à chercher peut s'écrire sous la forme $\displaystyle \frac{\frac{1-\cos y}{y} -\sqrt 3 \frac{\sin y}{y}}{\frac{\tan 6y}{y}}$

$\frac{\cos y-1}{y}=\frac{\cos y -\cos 0}{y-0}$ donc $\displaystyle \lim_{y\to 0}\frac{\cos y-1}{y}=\cos'(0)=-\sin 0 =0$

$\displaystyle \lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{y} =1$

$\displaystyle \frac{\tan 6y}{y}= \frac{\sin 6y}{6y}\times \frac{6}{\cos y}$ et $\displaystyle \lim_{y\to 0}\frac{\sin 6y}{6y}\times \frac{6}{\cos y}=1\times 6 =6$

La liste cherchée est donc : $\frac{0-\sqrt 3}{6} =-\frac{\sqrt 3}{6}$

[Job]

Pour les limites 3 et 4 on encadre le cosinus entre (-1) et 1 et on se ramène à un encadrement par des fonctions rationnelles.

Attention au sens des inégalités.
Quand $x$ tend vers -l'infini, $1-2x>0$ et quand $x$ tend vers +l'infini $-2x+1<0$