Résolution d'une triangulation

Aide au niveau terminale et sujets de baccalauréat.
younoboa
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Résolution d'une triangulation

Message par younoboa » 12 août 2021, 04:23

Bonjour,

Voici mon problème
on a les coordonnées de 3 points et leur distance par apport à un 4iemme point
  • point1: x1 y1 z1, distance par apport au point 4: R1
  • point2: x2 y2 z2, distance par apport au point 4: R2
  • point3: x3 y3 z3, distance par apport au point 4: R3
et on cherche les coordonnées X Y Z du point 4

Voici là où j'en suis de la résolution
du coup je pense qu'il faut faire le système d'équations suivant:
  • (x-x1)² + (y-y1)² + (z-z1)² = R1²
  • (x-x2)² + (y-y2)² + (z-z2)² = R2²
  • (x-x3)² + (y-y3)² + (z-z3)² = R3²
qui en isolant les x, y et z donne
  • x = (V(R1² - (z-z1)² - (y-y1)²) + x1)
  • y = (V(R2² - (x-x2)² - (z-z2)²) + y2)
  • z = (V(R3² - (x-x3)² - (y-y3)²) + z3)
Si je veux résoudre z par exemple j'injecte x dans y
avant injection: y = (V(R2² - (x-x2)² - (z-z2)²) + y2)
après injection: y = (V(R2² - ((V(R1² - (z-z1)² - (y-y1)²) + x1)-x2)² - (z-z2)²) + y2)

mais avant d'injecter Y dans Z il faut d'abord que j'isole le Y et je n'y arrive pas

Voici ma question
Sauriez vous comment isoler le Y dans cette équation?
y = (V(R2² - ((V(R1² - (z-z1)² - (y-y1)²) + x1)-x2)² - (z-z2)²) + y2)

si il y a un moyen plus simple de résoudre mon problème je suis aussi preneur

À propos
Je ne sais pas si c'est du niveau terminal alors dsl si je n'ai pas mis dans le bon niveau
Je précise quand même que je ne suis plus à l'école alors si vous pouvez donner une réponse avec les étapes de calculs ça serait sympa mais sinon la formule finale me conviendra tout de même

merci par avance pour vos réponses si il y en a ^^

younoboa
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Re: Résolution d'une triangulation

Message par younoboa » 13 août 2021, 03:49

Du coup j'ai fini par trouver la solution donc je vous la livre ici si jamais ça intéresse quelqu'un qui passerait par là un jour.
J'ai enlevé toutes les étapes intermédiaires de calculs et donné directement les formules finales car sinon ça fait vraiment des pages entières de calculs.

Avant propos
Les variables connu sont donc:
  • point1: x1, y1, z1, distance par apport au point 4: d1
  • point2: x2, y2, z2, distance par apport au point 4: d2
  • point3: x3, y3, z3, distance par apport au point 4: d3
on cherche le point 4: x, y, z

Étape 1
Pour simplifier la notation je définis à l'avance les variables suivantes: (Attention les majuscules/minuscules compte)
x1=[A renseigner soit même]
x2=[A renseigner soit même]
x3=[A renseigner soit même]
y1=[A renseigner soit même]
y2=[A renseigner soit même]
y3=[A renseigner soit même]
z1=[A renseigner soit même]
z2=[A renseigner soit même]
z3=[A renseigner soit même]
d1=[A renseigner soit même]
d2=[A renseigner soit même]
d3=[A renseigner soit même]
A = x1² + y1² + z1² - d1²
B = x2² + y2² + z2² - d2²
C = x3² + y3² + z3² - d3²
a = 2 * (x1 - x2)
b = 2 * (y1 - y2)
c = 2 * (z1 - z2)
d = 2 * (x1 - x3)
g = 2 * (y1 - y3)
h = 2 * (z1 - z3)
j = a * g - b * d
k = a * h - c * d
m = d * (A - B) + a * (C - A)
n = a * j
p = c * j - b * k
q = j * (B - A) - b * m
x = (-p * z - q) / n
y = (-k * z - m) / j
D = p² / n² + k² / j² + 1
E = 2 * p * q / n² + 2 * x1 * p / n + 2 * k * m / j² + 2 * y1 * k / j - 2 * z1
F = q² / n² + m² / j² + 2 * x1 * q / n + 2 * y1 * m / j + A
[DELTA] = E² - 4 * D * F

Étape 2
SQRT(x) veut dire racine carré de x
  • si [DELTA] < 0
    • il y a eu une erreur (j'ai remarqué que ça arrivait quand les 3 points sont sur le même plan car ça fait des divisions par 0) donc bien penser à prendre ces 3 points en forme de triangle et si possible pas à la même hauteur
  • si [DELTA] = 0
    • S0
      • z = -1*(E/(2*D))
      • y = (-1*k*z-m)/j
      • x = (-1*p*z-q)/n
  • si [DELTA] > 0
    • S1
      • z = (-1*E-SQRT([DELTA] ))/(2*D)
      • y =(-1*k*z-m)/j
      • x =(-1*p*z-q)/n
    • S2
      • z = (-1*E+SQRT([DELTA] ))/(2*D)
      • y = (-1*k*z-m)/j
      • x = (-1*p*z-q)/n
attention dans le cas où le delta est plus grand que 0 à bien mettre S1 et S2 dans des xyz différent

Étape 2
Mais là c'est dans mon cas perso à moi car mon but est de chercher un minerai sous terre.
Vu que y représente la hauteur chez moi il suffit dans le cas où [DELTA] > 0 de prendre entre S1 et S2 celui qui a le y le plus petit

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