dénombrement et loi binomiale

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camillem
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dénombrement et loi binomiale

Message par camillem » 17 mars 2021, 20:34

Bonjour,
j'ai besoin de votre aide sur cet exercice.
Merci
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camillem
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Re: dénombrement et loi binomiale

Message par camillem » 18 mars 2021, 12:35

Bonjour,
voilà ma proposition pour la a)
après je ne suis pas sûr de moi, merci
$P(B=2) ={12\choose 2} \times 0,25^1 \times (1-0,25)^{11}=\frac{11\times3^{11}}{2^{23}}$

$P(B=3) ={12\choose 3} \times 0,25^1 \times (1-0,25)^{11}=\frac{55\times3^{11}}{2^{22}}$

$P(B=3) =\frac{10}{3} P(B=2)$

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Re: dénombrement et loi binomiale

Message par Job » 18 mars 2021, 15:21

Bonjour

Dans la première question, ce n'est pas une loi binomiale, il n'y a pas répétition d'une même expérience.

1.a. Une éventualité est un tirage donc une combinaison de 3 boules prises parmi 12 donc $Card (\Omega)={12\choose 3} = 220.$

Pour $B=2$ un cas favorable est un tirage comportant 2 boules blanches parmi 3 et une boule verte parmi 9.
$\displaystyle P(B=2) =\frac{{3\choose 2} \times {9\choose 1}}{220}=\frac{27}{220}$

$\displaystyle P(B=3)=\frac{1}{220}$

b. Pour un joueur qui ne triche pas, la probabilité de gagner est la somme des probabilités de $B=2$ et $B=3$
$\displaystyle P_{\bar T}(g)= \frac{28}{220}=\frac{7}{55}$

c. $T$ et $\bar T$ constituent un système complet donc :
$P(G)=P(T\cap G) +P(\bar T \cap G)=P_T(G)\times P(T) +P_{\bar T}(G) \times P(\bar T)$
$PG)= \frac{1}{2} \times \frac{1}{10} +\frac{7}{55} \times \frac{9}{10} =\frac{181}{1100}$

d. $\displaystyle P_G(T)=\frac{P(T\cap G)}{P(G)}=\frac{\frac{1}{20}}{\frac{181}{1100}}=\frac{55}{181}$

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Re: dénombrement et loi binomiale

Message par Job » 18 mars 2021, 15:40

Question 2
a) Il y a répétition d'épreuves identiques et indépendantes.
Il y a 3 boules blanches parmi 12 donc $p=\frac{1}{4}=0,25$

b. $P(X=3)={8\choose 3} \times 0,25^3\times (1-0,25)^{8-3} = 56\times 0,25^3\times 0,75^5= 0,208$

On fait le même type de calcul pour $X$ =0 , 1 et 2 et il reste à faire la somme des 4 probabilités.

c. La probabilité de n'obtenir aucune boule blanche en $n$ tirages est $0,75^n$ donc la probabilité d'obtenir au moins une boule blanche est $1-0,75^n$
$1-0,75^n\geq 0,999$ soit $0,75^n \leq 0,001$

Avec la fonction $\ln$ : $n\ln (0,75)\leq \ln (0,001)$ soit $n\geq \frac{\ln (0,001)}{\ln (0,75)}\simeq 24,01$
(l'inégalité change de sens car $\ln (0,75)<0$)

Le plus petit entier est donc 25.

Sans la fonction $\ln$, il faut utiliser la calculatrice.

camillem
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Re: dénombrement et loi binomiale

Message par camillem » 18 mars 2021, 18:38

Merci pour tout, j'ai vu ma faute

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