Bonjour Job,
Pourriez vous m'aider à comprendre et résoudre ces différents exercices donnés sur KWICK .
Vous en remerciant par avance,
Dans un jeu de 32 cartes, contenant les valeurs, 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi As on appelle main tout ensemble de 5 cartes
Combien y'a t'il de mains différentes ?
Combien y'a t'il de mains différentes contenant au moins un pique ?
Combien y'a t'il de mains différentes contenant au plus un pique?
Combien y -a t'il de mains différentes contenant exactement 1 dame et 2 coeurs ?
Partant de la ville de paris, des amis organisent un voyagent en Europe en visitant les capitales suivantes :
Copenhague, Bruxelles, Berlin et Athènes
Combien y'a t'il d'itinéraires possibles ?
Combien y a t'il d'itinéraires possibles qui se terminent par berlin?
Combien y a t'il d'itinéraires possibles où on visite Athènes avant berlin?
dénombrement & combinaison
Re: dénombrement & combinaison
Bonjour nico
Exercice 1
Il n'y a ni répétition ni ordre donc on travaille avec des combinaisons.
Nombre de mains différentes : ${32\choose 5}= 201376$
Avec "au moins", la meilleure méthode consiste en général à regarder l'événement contraire.
Nombre de mains ne comprenant pas de pique : ${24\choose 5}= 42504$
Nombre de mains comprenant au moins un pique : 201376-42504=158872
Au plus un pique : il faut 0 ou 1 pique.
Avec 1 pique : il faut 1 pique et 4 "non pique" soit ${8\choose 1} \times {24\choose 4}=85008$
Au plus 1 pique : 85008+42504=127512.
Si la main contient la dame de cœur, il faut un autre cœur donc 7 possibilités et 3 cartes qui ne sont ni des cœurs ni des dames donc 3 parmi 21 =${21\choose 3} = 133$
Soit dans ce cas : $7\times 133=931$
Si la main ne comprend pas la dame de cœur, il faut 2 cœurs parmi 7 soit ${7\choose 2}=21$, 1 dame parmi 3 et 2 cartes qui ne sont ni des cœurs ni des dames donc 2 parmi 21= ${21\choose 2}=210$
Soit dans ce cas : $21\times 3\times 210=13230$
Au total : 931 + 13230= 14161 mains comprenant exactement 1 dame et 2 cœurs.
Exercice 1
Il n'y a ni répétition ni ordre donc on travaille avec des combinaisons.
Nombre de mains différentes : ${32\choose 5}= 201376$
Avec "au moins", la meilleure méthode consiste en général à regarder l'événement contraire.
Nombre de mains ne comprenant pas de pique : ${24\choose 5}= 42504$
Nombre de mains comprenant au moins un pique : 201376-42504=158872
Au plus un pique : il faut 0 ou 1 pique.
Avec 1 pique : il faut 1 pique et 4 "non pique" soit ${8\choose 1} \times {24\choose 4}=85008$
Au plus 1 pique : 85008+42504=127512.
Si la main contient la dame de cœur, il faut un autre cœur donc 7 possibilités et 3 cartes qui ne sont ni des cœurs ni des dames donc 3 parmi 21 =${21\choose 3} = 133$
Soit dans ce cas : $7\times 133=931$
Si la main ne comprend pas la dame de cœur, il faut 2 cœurs parmi 7 soit ${7\choose 2}=21$, 1 dame parmi 3 et 2 cartes qui ne sont ni des cœurs ni des dames donc 2 parmi 21= ${21\choose 2}=210$
Soit dans ce cas : $21\times 3\times 210=13230$
Au total : 931 + 13230= 14161 mains comprenant exactement 1 dame et 2 cœurs.
Re: dénombrement & combinaison
Exercice 2
Je suppose que chaque ville est visitée une seule fois donc il s'agit d'une permutation des 4 villes.
Nombre d'itinéraires possibles : 4 x 3 x 2 x 1=24.
Nombre d'itinéraires qui se terminent par Berlin : 3 x 2 x 1= 6.
On peut considérer que dans les 24 itinéraires possibles, par raison de symétrie, il y en a autant où Berlin est avant Athèmes que d'itinéraires où Athènes est avant Berlin.
Donc : 12 itinéraires où Athènes est avant Berlin.
Je suppose que chaque ville est visitée une seule fois donc il s'agit d'une permutation des 4 villes.
Nombre d'itinéraires possibles : 4 x 3 x 2 x 1=24.
Nombre d'itinéraires qui se terminent par Berlin : 3 x 2 x 1= 6.
On peut considérer que dans les 24 itinéraires possibles, par raison de symétrie, il y en a autant où Berlin est avant Athèmes que d'itinéraires où Athènes est avant Berlin.
Donc : 12 itinéraires où Athènes est avant Berlin.
Re: dénombrement & combinaison
Waooh.. ça m'a l'air difficile avant de voir la réponse ! Les énigmes et les calculs peuvent parfois sembler aussi mystérieux qu'une main joueur de carte !