complexe

Aide au niveau terminale et sujets de baccalauréat.
syne1
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complexe

Message par syne1 » 08 février 2021, 17:40

Bonjour, je voudrais de l'aide pour cet exercice. MERCI D'AVANCE
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Re: complexe

Message par Job » 09 février 2021, 16:53

Bonjour

1) $z_1z_2=\frac{c}{a}=1$ donc $|z_1|\times |z_2]=1$ et $arg(z_1)+arg(z_2)=0\ [2\pi]$

2) 0 n'est pas solution de l'équation. Soit $r$ un réel non nul.

* $r$ solution de l'équation : $r^2-2(\sin a +i\cos a)r +1=0$
$(r^2 -2r\sin a +1)-2ri\cos a=0$ si et seulement si $\left\{\begin{array}{rcl} r^2-2r\sin a +1&=&0\\ r\cos a &=&0\end{array}\right.$

$r\cos a =0$ si et seulement $a=\frac{\pi}{2}\ [\pi]$
Si $a=\frac{\pi}{2}$ on a alors $r^2-2r+1=0$ donc $r=1$
Si $a=-\frac{\pi}{2}$ on a alors $r^2+2r+1=0$ donc $r=-1$

$z_1$ et $z_2$ sont réels lorsque $a=\frac{\pi}{2}\ [\pi]$

* $ri$ solution de l'équation : $-r^2-2 ( \sin a +i\cos a)(ri)+1=0$
$(-r^2+2r\cos a +1) -2ri\sin a=0$ si et seulement si $\left\{\begin{array}{rcl} -r^2+2r\cos a +1&=&0\\2r\sin a&=&0\end{array}\right.$
$r\sin a=0$ si et seulement si $a=0\ [\pi]$

$z_1$ et $z_2$ sont imaginaires purs lorsque $a=0\ [\pi]$

syne1
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Re: complexe

Message par syne1 » 14 février 2021, 21:15

Bonsoir et merci qu'en pensez vous sur les autres questions?

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Re: complexe

Message par Job » 15 février 2021, 17:04

Question 3

$(z_1-p)+(z_2-p)=z_1+z-2 -2p=2p-2p=0$ donc $z_2-p$ et $(z_1-p)$ sont opposés

2 complexes opposés ont même module.

$(z_1-p)(z_2-p)=z_1z_2+p^2-p(z_1+z_2)=1+p^2-p(2p)=1-p^2$ (E)
$1-p^2=1-\sin^2a +cos^2a-2i\sin a \cos a=2\cos a(\cos a -i\sin a=2\cos a(e^{-ia})$

On a donc $|z_1-p|\times |z_2-p|=|z_1-p|^2=2|\cos a|\times 1$
$|z_1-p|=|z_2-p|=\sqrt {2|\cos a|}$

Puisque $z_2-p$ est l'opposé de $z_1-p$, $arg(z_2-p)=arg(z_1-p)+\pi$
De l'égalité (E), on déduit $2 arg (z_1+p)+\pi =arg(2\cos a)+arg (e^{-ia})=arg(2\cos a) -a$

* Si $\cos a>0, 2 arg (z_1+p)+\pi =0-a$ donc $ arg (z_1+p)=\frac{1}{2} (-a-\pi)$
* Si $\cos a<0, 2 arg (z_1+p)+\pi =\pi-a$ donc $arg(z_1+p)=-\frac{1}{2} a$

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