Lieu de point et similitude

Aide au niveau terminale et sujets de baccalauréat.
fparis2002
Membre
Messages : 2
Inscription : 31 janvier 2021, 15:21

Lieu de point et similitude

Message par fparis2002 » 31 janvier 2021, 15:57

Bonjour,
J ai besoin d aide. Je ne sais pas par où commencer.
Le cercle (O) a pour image le cercle (O') par la similitude S(w,a,k).
M a pour image M'.
I est le milieu de [M,M'].
Quel est le lieu du point I lorsque M décrit le cercle de centre O ?
Merci pour votre aide.
S(w,a): w centre de la similitude , a est l angle de la similitude , k le rapport.

Avatar de l’utilisateur
Job
Propriétaire du forum
Messages : 2584
Inscription : 28 juin 2013, 15:07
Contact :

Re: Lieu de point et similitude

Message par Job » 01 février 2021, 15:45

Bonjour

En se plaçant dans le plan complexe, le point $M'$ a pour affixe $z'=ke^{ia}z$

Soit $z"$ l'affixe de I : $z"=\frac{1}{2} (z+z')=\frac{1}{2} (1+ke^{ia})z$

On reconnaît l'expression complexe d'une similitude S'.
Si $z=\omega$ alors $z'=\omega$ et $z"=\omega$ donc S' a aussi pour centre $\omega$

Le lieu du point $I$ est donc le cercle image du cercle $(O)$ par la similitude S'.

fparis2002
Membre
Messages : 2
Inscription : 31 janvier 2021, 15:21

Re: Lieu de point et similitude

Message par fparis2002 » 01 février 2021, 16:19

Merci beaucoup
Que penses tu de mon idée :
A pour image A' M--->M'
Il existe similitude de même centre tel que:
A--->M A'--->M'
Comme les milieux sont conservés par similitude :
I =m[A,A']----> J=milieu[M,M']
Donc il existe similitude même centre :
A--->I M--->J
Si M décrit un cercle alors J décrit un cercle.
Reste à savoir où se trouve le centre du cercle des milieu
D apres geogebra il est au milieu des centres O et O' ( cercles de bases)

Avatar de l’utilisateur
Job
Propriétaire du forum
Messages : 2584
Inscription : 28 juin 2013, 15:07
Contact :

Re: Lieu de point et similitude

Message par Job » 03 février 2021, 12:45

Bonjour

Je ne comprends pas bien ta démonstration. Que sont les points $A$ et $A'$ ?

Par contre, pour justifier que le centre du cercle image du cercle $(0)$ par la similitude S' est le milieu des centres des cercles $(O)$ et $(O')$, en reprenant le calcul avec les complexes :
Job a écrit :
01 février 2021, 15:45

En se plaçant dans le plan complexe, le point $M'$ a pour affixe $z'=ke^{ia}z$

Soit $z"$ l'affixe de I : $z"=\frac{1}{2} (z+z')=\frac{1}{2} (1+ke^{ia})z$

On reconnaît l'expression complexe d'une similitude S'.
Si $z=\omega$ alors $z'=\omega$ et $z"=\omega$ donc S' a aussi pour centre $\omega$

Le lieu du point $I$ est donc le cercle image du cercle $(O)$ par la similitude S'.
Par la similitude $S$ telle que le cercle $(O)$ a comme image le cercle $(O')$, si $z$ est l'affixe du centre de $(O)$, le centre de $(O')$ a pour affixe $z'=ke^{ia}z$
Par la similitude S', l'image du centre de $(O)$ a pour affixe $ \frac{1}{2} (1+ke^{ia})z=\frac{1}{2} (z+z')$, c'est donc le milieu des centres des cercles $(O)$ et $(O')$.

Répondre