Bonjour à tous ! J'ai un exercice sur les exponentielles à compléter pour la rentrée, je ne suis pas sûre de mes réponses pourriez-vous m'aider svp ?
Voici l'énoncé:
Soit g la fonction définie par: g(x) = e^x-xe^x+1
1. Déterminer les limites de g en -l'infini et en +l'infini. Que peut on en déduire pour la représentation graphique de la fonction g ?
2. Déterminer les asymptotes éventuelles de la représentation graphique de g .
3. Etablir le tableau de variations complet de la fonction g .
4. a) Démontrer que l'équation g (x) = 0 admet sur R une unique solution. On note alpha cette solution.
b) A l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude 10^2 de alpha.
c) Montrer que e^alpha = 1/alpha-1
5. Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x
Voici mes réponses:
1. Quand x tend vers plus l'infini:
g(x)= e^x(1-x)+1
Donc la limite de e^x = + l'infini
La limite de 1-x = moins l'infini
La limite de 1 = 1
Par opération sur les limites on obtient lim g(x)= moins l'infini
Quand x tend vers moins l'infini:
La limite de e^x=0
La limite de xe^x= 0
La limite de 1=1
Par opération de limites, on obtient lim g(x)= 1
Mais par contre je ne comprends pas ce qu'ils veulent dire par "Que peut on en déduire pour la représentation graphique de la fonction g"?
2. Je ne suis pas sûre du tout. Il y a une asymptote horizontale y=1 ? C'est tout ?
3. Pour le tableau de variations j'y suis bien arrivée, j'ai calculé g(0)=2, j'ai dérivé g'(x)= -xe^x. Ce qui fait que j'ai d'abord + et - pour la dérivée (parce que le coeff devant x est négatif) et une courbe strictement croissante de 1 à 2 puis décroissante de 2 à moins l'infini pour g(x).
4. a) Il faut montrer qu'il y a un changement de signe, une continuité, et une stricte monotonie.
--> La fonction g est dérivable, donc continue sur R
--> Comme vu dans le tableau de variations, la fonction est strictement décroissante sur [0; plus l'infini[
--> g(-4) = 1,09 et g(4)= -162,8, donc il y a bien un changement de signe dans R. Aussi, 0 est une valeur intérmédiaire de g dans R, car g(0)= 2 et lim g(x)= - l'infini (quand x tend vers + l'infini)
Donc g(x)=0 admet une unique solution alpha sur R.
b) Je peux lire sur la calculatrice:
--> g(1)=1 et g(2)= 6,4, donc 1<alpha<2
--> g(1,2)= 0,3 et g(1,3)= -0,1, donc 1,2 < alpha < 1,3
--> g(1,27)= 0,04 et g(1,28)= -0,007, donc 1,27< alpha < 1,28
c) g(alpha) = 0
Donc (1-alpha ) e^alpha +1 = 0
(1-alpha ) e^alpha = -1
e^alpha = -1/1-alpha = 1/alpha-1
5. J'ai répondu grâce au tableau de variation et à la définition de alpha
--> Pour - l'infini < x <0, on a g(x)>1
--> Pour 0 <x<alpha, g(0)>g(x)>g(alpha)=0, on a g(x)>0
--> Pour x>alpha, g(x)<g(alpha)=0, donc g(x)<0;
Alors g(x)<0 pour x>alpha et g(x)>0 pour x<alpha
C'était très long à taper :')
Merci d'avance pour votre aide !
Etudes de fonctions
Re: Etudes de fonctions
Bonjour
Vous avez fait du bon travail.
Mis à part l'asymptote, je ne vois pas non plus ce qu'on peut dire de plus sur la représentation graphique.
Pour la question 4,la justification n'est pas assez rigoureuse.
Il faut d'abord préciser que, sur l'intervalle $]-\infty , 0], g(x)>0$ donc l'équation $g(x)=0$ n'a pas de solution sur cet intervalle.
Ensuite sur l'intervalle $[0,+\infty[$, on applique, comme vous l'indiquez, le théorème des valeurs intermédiaires. Les calculs de $g(4)$ et $g(-4)$ sont inutiles.
Vous avez fait du bon travail.
Mis à part l'asymptote, je ne vois pas non plus ce qu'on peut dire de plus sur la représentation graphique.
Pour la question 4,la justification n'est pas assez rigoureuse.
Il faut d'abord préciser que, sur l'intervalle $]-\infty , 0], g(x)>0$ donc l'équation $g(x)=0$ n'a pas de solution sur cet intervalle.
Ensuite sur l'intervalle $[0,+\infty[$, on applique, comme vous l'indiquez, le théorème des valeurs intermédiaires. Les calculs de $g(4)$ et $g(-4)$ sont inutiles.