Bonsoir Job,
Pourriez vous m'aider sur la résolution des deux exercices car je suis complètement perdu
Voici le sujet :
Dans un tétraèdre ABCD, les points I, J sont les milieux de BC et AD , le point G est le cdc du triangle BCD et le vecteur u est défini par :
u = AB + AC + AD
On se propose de démontrer que les vecteurs u, IJ et DG ne forment pas une base de l'espace
Démontrer que 2IJ = -AB + AD -AC
démontrer que 3DG = AB - 2AD+AC
Conclure
autre exercices géométrie
Re: autre exercices géométrie
Bonjour nico
$J$ étant le milieu de $[AD]$, $2\overrightarrow {IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{CD}$
$\overrightarrow{IB}$ et $\overrightarrow{IC}$ sont opposés donc :
$2\overrightarrow{IJ}=-\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$
$\overrightarrow{DG}=\frac{2}{3} \overrightarrow{DI}$ donc $3\overrightarrow{DG} =2\overrightarrow{DI} =\overrightarrow{DB} +\overrightarrow{DC}$
$=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} -2\overrightarrow{AD}$
On en déduit que $2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow {u}$ et $3\overrightarrow{DG}=\overrightarrow {u}-3\overrightarrow{AD}$
$6\overrightarrow{IJ}+3\overrightarrow{DG}=3\overrightarrow{AD}-3\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}-3\overrightarrow{AD}=-2\overrightarrow{u}$
$\overrightarrow{u}$ est donc une combinaison linéaire des vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{DG}$ par conséquent ces 3 vecteurs ne peuvent pas former une base.
$J$ étant le milieu de $[AD]$, $2\overrightarrow {IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{CD}$
$\overrightarrow{IB}$ et $\overrightarrow{IC}$ sont opposés donc :
$2\overrightarrow{IJ}=-\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$
$\overrightarrow{DG}=\frac{2}{3} \overrightarrow{DI}$ donc $3\overrightarrow{DG} =2\overrightarrow{DI} =\overrightarrow{DB} +\overrightarrow{DC}$
$=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} -2\overrightarrow{AD}$
On en déduit que $2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow {u}$ et $3\overrightarrow{DG}=\overrightarrow {u}-3\overrightarrow{AD}$
$6\overrightarrow{IJ}+3\overrightarrow{DG}=3\overrightarrow{AD}-3\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}-3\overrightarrow{AD}=-2\overrightarrow{u}$
$\overrightarrow{u}$ est donc une combinaison linéaire des vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{DG}$ par conséquent ces 3 vecteurs ne peuvent pas former une base.