Bonsoir,
Je suis bloqué sur cet exercice sur les suites .
Il faut justifier les réponses (V ou F)
On considère la suite (pn) définie sur IN par pn = n^2-42n+4
La suite est elle strictement décroissante ?
Soit a un nombre réel. On considère les suites (un) et (vn) définies par:
u0= a et un+1 = 1/3 rac (un^2+8)
vn = un^2-1 pour tout entier naturel n
la suite (vn) est une suite géométrique ?
On considère une suite (wn) qui vérifie pour tout entier naturel n,
n^2 < ou égal (n+1)^2 wn < ou égal à (n^2+n)
la suite (wn) converge ?
suites
Re: suites
Bonjour nico
1) La méthode classique : $p_{n+1}-p_n=((n+1)^2-42(n+1)+4)-(n^2-42n+4)=2n-41$
$p_{n+1}-p_n<0 $ si $n<21$ et $p_{n+1}-p_n>0 $ si $n\geq 21$
La suite n'est donc pas strictement décroissante , elle n'est décroissante que jusqu'au rang 20.
2) $v_{n+1}=u_{n+1}^2-1=(\frac{1}{3}\sqrt {u_n^2+8})^2 -1= \frac{1}{9}(u_n^2+8)-1$
$u_n^2=v_n+1$ donc $v_{n+1}=\frac{1}{9} (v_n+1+8)-1=\frac{1}{9} v_n$
$(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{9}$
3) $n^2\leq (n+1)^2 w_n\leq n^2+n$ donc $\frac{n^2}{(n+1)^2}\leq w_n\leq \frac{n(n+1)}{(n+1)^2}$
$(\frac{n}{n+1})^2\leq w_n\leq \frac{n}{n+1}$
$\lim (\frac{n}{n+1})=1$ donc, par encadrement, la suite $(w_n)$ converge vers 1.
1) La méthode classique : $p_{n+1}-p_n=((n+1)^2-42(n+1)+4)-(n^2-42n+4)=2n-41$
$p_{n+1}-p_n<0 $ si $n<21$ et $p_{n+1}-p_n>0 $ si $n\geq 21$
La suite n'est donc pas strictement décroissante , elle n'est décroissante que jusqu'au rang 20.
2) $v_{n+1}=u_{n+1}^2-1=(\frac{1}{3}\sqrt {u_n^2+8})^2 -1= \frac{1}{9}(u_n^2+8)-1$
$u_n^2=v_n+1$ donc $v_{n+1}=\frac{1}{9} (v_n+1+8)-1=\frac{1}{9} v_n$
$(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{9}$
3) $n^2\leq (n+1)^2 w_n\leq n^2+n$ donc $\frac{n^2}{(n+1)^2}\leq w_n\leq \frac{n(n+1)}{(n+1)^2}$
$(\frac{n}{n+1})^2\leq w_n\leq \frac{n}{n+1}$
$\lim (\frac{n}{n+1})=1$ donc, par encadrement, la suite $(w_n)$ converge vers 1.