récurrence

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nico033
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récurrence

Message par nico033 » 21 septembre 2020, 03:51

Bonjour,

Pourriez vous , m'aider à répondre aux 3 questions de l'exercice que j'ai à traiter pour la fin de la semaine . (merci par avance )

Montrer que : "9 divise 1O^n + 1, n appartenant à IN" est héréditaire
Montrer par récurrence que "9 divise 1O^n - 1, n appartenant à IN" est vraie pour tout entier naturel n
Déduire des questions précédentes, que "9 divise 1O^n + 1, n appartenant à IN" n'est jamais vraie.

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Job
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Re: récurrence

Message par Job » 23 septembre 2020, 10:49

Bonjour

1) On suppose vérifié au rang $n$ : 9 divise $10^n+1$ donc il existe un entier naturel $k$ tel que $10^n+1=9k$

$10^{n+1}+1=10\times 10^n+1=10(9k-1)+1=10\times 9k -9=9(10^k-1)$
Donc 9 divise $10^{n+1}-1$ et la propriété est donc héréditaire.

2) Pour $n=1$, 9 divise $10^n-1$

On suppose vérifié au rang $n$ : 9 divise $10^n-1$
$10^{n+1}-1 =10\times 10^n -10+9=10(10^n-1)+9$
9 divise $10^n-1$ donc 9 divise la somme $10(10^n-1)+9$. La propriété est donc héréditaire.

Elle est vérifiée au rang 1 et elle est héréditaire donc elle est vraie pour tout $n\in {\mathbb N}^*$

3) Si, pour tout $n$, 9 divise $10^n+1$ alors 9 divise $(10^n+1)+(10^n-1)=2\times 10^n$
Les seuls facteurs premiers de $10^n$ sont 2 et 5 donc 9 ne peut pas diviser $2\times 10^n$
Il y a une contradiction donc 9 ne divise pas $10^n+1$

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