Bonjour!
Une question apparemment simple mais dont j'ai du mal à trouver la réponse:
Une urne contient 10 boules indiscernables: 10 blanches et 10 noires. On tire sans remise une seule boule à chaque tirage. Combien de tirages successifs faut-il effectuer pour être certain d'avoir une blanche et une noire?
Probabilités
Re: Probabilités
Bonjour
À priori, le nombre de tirages nécessaires peut varier de 2 à 11. Si on désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tirages , on peut calculer la probabilité que $X=k$ avec $2\leq k \leq 11$.
Si $X=k$, il y a eu auparavant $(k-1)$ tirages d'une même couleur et le tirage de rang $k$ de couleur différente.
$P(X=k)=\frac{10}{20}\times \cdots \times \frac{10-(k-2)}{20-(k-2)} \times \frac{10}{20-(k-1)}=\frac{10\times \cdots \times [10-(k-2)]\times 10}{20\times \cdots \times [10-(k-1)]}$
Nombre que l'on peut encore écrire sous la forme : $\frac{\frac{10!}{[10-(k-1)]!}\times 10}{\frac{20!}{(20-k)!}}= \frac{10!\times (20-k)!\times 10}{20!\times [10-(k-1)]!}$
La réponse la plus logique à la question serait de calculer l'espérance : $E(X)=\sum_{k=2}^{11} \frac{10!\times (20-k)!\times 10\times k}{20!\times [10-(k-1)]!}=\frac{10!\times 10}{20!} \sum_{k=2}^{11} \frac{(20-k)!\times k}{[10-(k-1)]!}$
La méthode brutale serait de faire le calcul pour chacun des 10 cas, je vais essayer de voir si on peut faire mieux.
À priori, le nombre de tirages nécessaires peut varier de 2 à 11. Si on désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tirages , on peut calculer la probabilité que $X=k$ avec $2\leq k \leq 11$.
Si $X=k$, il y a eu auparavant $(k-1)$ tirages d'une même couleur et le tirage de rang $k$ de couleur différente.
$P(X=k)=\frac{10}{20}\times \cdots \times \frac{10-(k-2)}{20-(k-2)} \times \frac{10}{20-(k-1)}=\frac{10\times \cdots \times [10-(k-2)]\times 10}{20\times \cdots \times [10-(k-1)]}$
Nombre que l'on peut encore écrire sous la forme : $\frac{\frac{10!}{[10-(k-1)]!}\times 10}{\frac{20!}{(20-k)!}}= \frac{10!\times (20-k)!\times 10}{20!\times [10-(k-1)]!}$
La réponse la plus logique à la question serait de calculer l'espérance : $E(X)=\sum_{k=2}^{11} \frac{10!\times (20-k)!\times 10\times k}{20!\times [10-(k-1)]!}=\frac{10!\times 10}{20!} \sum_{k=2}^{11} \frac{(20-k)!\times k}{[10-(k-1)]!}$
La méthode brutale serait de faire le calcul pour chacun des 10 cas, je vais essayer de voir si on peut faire mieux.