Bonsoir à tous!
Est-il possible de trouver l'équation d'une fonction vérifiant les contraintes suivantes:
1) asymptote verticale pour x=-2
2) asymptote horizontale y=1
3) minimum y=-1 pour x=2
4) f(-1)=1
5) f'(-1)=-2
Trouver l'équation d'une fonction
Re: Trouver l'équation d'une fonction
Bonjour
Le type de fonction est-il précisé ? (fonction rationnelle ? comportant une fonction exponentielle ou logarithme ? )
Le type de fonction est-il précisé ? (fonction rationnelle ? comportant une fonction exponentielle ou logarithme ? )
Re: Trouver l'équation d'une fonction
Non... choix libre
Re: Trouver l'équation d'une fonction
Bonjour
J'ai cherché une fonction rationnelle donc de la forme $f(x) =\frac{g(x)}{h(x)}$.
Il ne s'agit pas d'une fonction homographique qui est représentée par une hyperbole et qui n'admet donc pas d'extremum.
Compte tenu de l'asymptote horizontale, $g$ et $h$ sont de même degré et ont le même coefficient dominant.
Compte tenu de l'asymptote verticale, $h$ s'annule en (-2).
Je pose donc $h(x)=(x+2)(x+a) $ et $g(x)=x^2+bx+c$ soit $f(x)=\frac{x^2+bx+c}{(x+2)(x+a)}$
$f(-1)=1$ me conduit à l'égalité $-b+c=a-2$
$f(2)=-1$ me conduit à l'égalité $2b+c=-4a-12$
En résolvant le système formé par ces 2 équations, j'obtiens : $b=-\frac{5}{3} a -\frac{10}{3}$ et $c=-\frac{2}{3} a -\frac{16}{3}$
J'en suis dons à $\displaystyle f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{x^2+(-\frac{5}{3} a -\frac{10}{3})x +(-\frac{2}{3} a -\frac{16}{3})}{(x+2)(x+a)}$
Le calcul de la fonction dérivée pour $x=-1)$ me donne $\displaystyle f'(-1)=\frac{-\frac{8}{3} -\frac{16}{3}}{-1+a}$ (j'ai simplifié par $-1+a$).
$f'(-1)=-2$ me donne $a=-11$ puis $b=15$ et $c=2$
$\displaystyle f(x)=\frac{x^2+15x+2}{(x+2)(x-11)}$
(Calculs à vérifier)
J'ai cherché une fonction rationnelle donc de la forme $f(x) =\frac{g(x)}{h(x)}$.
Il ne s'agit pas d'une fonction homographique qui est représentée par une hyperbole et qui n'admet donc pas d'extremum.
Compte tenu de l'asymptote horizontale, $g$ et $h$ sont de même degré et ont le même coefficient dominant.
Compte tenu de l'asymptote verticale, $h$ s'annule en (-2).
Je pose donc $h(x)=(x+2)(x+a) $ et $g(x)=x^2+bx+c$ soit $f(x)=\frac{x^2+bx+c}{(x+2)(x+a)}$
$f(-1)=1$ me conduit à l'égalité $-b+c=a-2$
$f(2)=-1$ me conduit à l'égalité $2b+c=-4a-12$
En résolvant le système formé par ces 2 équations, j'obtiens : $b=-\frac{5}{3} a -\frac{10}{3}$ et $c=-\frac{2}{3} a -\frac{16}{3}$
J'en suis dons à $\displaystyle f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{x^2+(-\frac{5}{3} a -\frac{10}{3})x +(-\frac{2}{3} a -\frac{16}{3})}{(x+2)(x+a)}$
Le calcul de la fonction dérivée pour $x=-1)$ me donne $\displaystyle f'(-1)=\frac{-\frac{8}{3} -\frac{16}{3}}{-1+a}$ (j'ai simplifié par $-1+a$).
$f'(-1)=-2$ me donne $a=-11$ puis $b=15$ et $c=2$
$\displaystyle f(x)=\frac{x^2+15x+2}{(x+2)(x-11)}$
(Calculs à vérifier)