Un petit problème associé à l'étude d'une fonction bicarrée : tangente, zéros et intersection de courbes.
Les calculs sont justes, mais je me demande comment améliorer la rédaction ?
On considère la fonction : $y=x^4-5x^2+4$, et la courbe $\Gamma$ représentative des variations de cette fonction.
1.) Écrire l'équation de la tangente $T$ à la courbe $\Gamma$ au point $A$ d’abscisse $x=\sqrt{2}$.
2a) Former l'équation aux abscisses des points d'intersection entre la courbe $\Gamma$ avec la droite $T$.
2.b) Montrer qu'on peut mettre cette équation sous la forme : $(x-\sqrt{2})^2(x^2+\alpha x+\beta)=0$,
ou $\alpha$ et $\beta$ sont des nombres relatifs que l'on calculera.
2.c) En déduire que l'ensemble $T \cap \Gamma$ est formé de trois points $A$, $B$, $C$ dont on donnera les coordonnées.
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1.) L'équation générale de la tangente $T$, en un point $a$, d'une fonction $f$, a pour expression :
$\quad T(x)=f'(a)(x-a)+f(a)$;
La fonction dérivée associée à $y$ a pour expression :
$\quad y'=4x^3-10x=2x(2x^2-5)$.
Les valeurs : $f(\sqrt{2})=-2$ et $f'(\sqrt{2})=-2\sqrt{2}$, pour former l'équation de la tangente :
$\quad T(x)=-2\sqrt{2}(x-\sqrt{2})-2=-2\sqrt{2}x+2$.
2.a) L'équation, aux abscisses, est celle qui vérifie : $y=T(x)$ :
$\quad x^4-5x^2+4=-2\sqrt{2}x+2\ \Longleftrightarrow\ x^4-5x^2+2\sqrt{2}x-2=0$ (1)
2.b) Développement et factorisation suivant les puissances de $x$ :
$\quad(x-\sqrt{2})^2(x^2+\alpha x+\beta)=x^4+x^3(\alpha-2\sqrt{2})+x^2(\beta-2\sqrt{2}\alpha+2)+x(2\alpha-2\sqrt{2}\beta)+2\beta$
Mettons en correspondance ces coefficients avec ceux de l'expression (1), de manière à obtenir l'égalité :
$\quad\left\{
\begin{array}{rcr}
\alpha-2\sqrt{2}&=&0\\
\beta-2\sqrt{2}\alpha+2&=&-5\\
2\alpha-2\sqrt{2}\beta&=&2\sqrt{2}\\
2\beta&=&2\\
\end{array}
\right.\quad\Longrightarrow\quad\alpha=2\sqrt{2}\text{ et }\beta=1;$
On obtient, ainsi, l'autre forme recherchée de l'équation aux abscisses :
$\quad(x-\sqrt{2})^2(x^2+2\sqrt{2}x+1)=0.$
2.c) Vérifions si le trinôme possède des racines en examinant son discriminant :
$\quad\Delta=(2\sqrt{2})^2-4=4>0$ et les racines sont :
$\quad x'=\dfrac{-2\sqrt{2}+2}{2}=1-\sqrt{2},\quad x''=\dfrac{-2\sqrt{2}-2}{2}=-(1+\sqrt{2}).$
En résumé, l'équation aux abscisses possède trois racines :
$\quad x_1=\sqrt{2}$ (double), $x_2=1-\sqrt{2}$ et $x_3=-(1+\sqrt{2})$.
Ces valeurs sont les abscisses des points d'intersections, $A$, $B$ et $C$ des courbes $\Gamma$ et $T$.
Pour le calcul des ordonnées, on utilisera l'expression simple de la tangente : $T(x)=-2\sqrt{2}x+2$;
$\quad T(\sqrt{2})=-2$, $T(1-\sqrt{2})=2(3-\sqrt{2})$, $T(-(\sqrt{2}+1))=2(3+\sqrt{2})$.
Conclusion : l'ensemble $T \cap \Gamma$ est formé de trois points dont les coordonnées sont :
$\quad A=(\sqrt{2};-2),\quad B=\big(1-\sqrt{2};2(3-\sqrt{2})\big),\quad C=\big(-(1+\sqrt{2});2(3+\sqrt{2})\big)$.
Merci pour les commentaires,
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