[Trigonométrie] Recherche de relations

[Shareman]

Bonjour,

Un petit problème axé sur la recherche de relations en trigonométrie.
Au départ, il faut soigneusement choisir les identités pour optimiser les calculs et la rédaction...
Je crois quelles sont utiles pour résoudre des équations et trouver certaines primitives ?

1.) Vérifier les deux égalités suivantes :
1.a) $\dfrac{1-\cos x}{\sin x}=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right);$
1.b) $\dfrac{1-\sin x}{\cos x}=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}=\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right).$
2.a) En déduire l'expression de : $\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}$ en fonction de $\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)=t$;
2.b) De même, exprimer $\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}$ en fonction de $\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)=u.$
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Rappel utile : la propriété des rapports égaux (produit en croix) : $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\iff\dfrac{d}{c}=\dfrac{b}{a}.$
1.a) $\sin^2x+cos^2x=1\iff\sin x\times\sin x=(1-\cos x)(1+\cos x)\iff\dfrac{1-\cos x}{\sin x}=\dfrac{\sin x}{1+\cos x};$
A partir de : $\sin 2x=2\sin x\cos x\quad$ et $\quad 1+\cos 2x=2\cos^2x$,
$\quad\dfrac{\sin x}{1+\cos x}=\dfrac{2\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)}{2\cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right)}=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right).$
1.b) $\sin^2x+cos^2x=1\iff(1-\sin x)(1+\sin x)=\cos x\times\cos x\iff\dfrac{1-\sin x}{\cos x}=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}.$
Partant de : $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x\,$ et $\,\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x,\,$ si on pose : $X=\dfrac{\pi}{2}-x,$
suivant le résultat précédent :
$\quad\dfrac{1-\sin x}{\cos x}=\dfrac{1-\cos X}{\sin X}=\tan\left(\dfrac{X}{2}\right)=\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right).$
Pouvez-t-on démontrer différemment cette relation ?

2.a) $\dfrac{1-\cos x}{\sin x}\times\dfrac{\sin x}{1+\cos x}=\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}=\tan^2\left(\dfrac{x}{2}\right)=t^2.$
2.b) $\dfrac{1-\sin x}{\cos x}\times\dfrac{\cos x}{1+\sin x}=\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}=\tan^2\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)=u^2.$

C'est fini, mais à la rédaction j'ai pu commettre des abus d'écritures ou des omissions ?
Merci pour vos commentaires

[Job]

Bonjour

Je n'ai rien à corriger ni à ajouter à la démonstration.

J'ajoute une petite question : Écrire $\sin x +\cos x$ en utilisant une seule ligne trigonométrique.

[Shareman]

Merci pour la réponse.

J'ajoute une petite question : Écrire $\sin x +\cos x$ en utilisant une seule ligne trigonométrique.

Le seul moyen que je connaisse avec :
$\quad\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$, en prenant : $a=\dfrac{\pi}{4}[2\pi]\Longrightarrow\sin a=\cos a=\dfrac{\sqrt{2}}{2};$
Après simplification on en déduit : $\,\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right).$
C'est à cette approche que tu pensais ?

[Job]

C'est bien cela.

On peut faire le même type de transformation avec l'expression : $a\ cos x +b\sin x$

Cela peut être utile pour résoudre des équations.