[Arithmétique] Résoudre une équation dans $\mathbb{N}.$

[Shareman]

Bonsoir,

Un exercice sur le thème des diviseurs associé à la résolution d'une équation dans $\mathbb{N}$.
Tiré d'un ancien livre de terminale CT, c'est plus difficile qui n'y parait...

1.) Déterminer l'ensemble des diviseurs de 900.
2.) En déduire la résolution dans N de l'équation :
$\quad(x-3)(y-4)=900$.
____________________________________________________

1.) La liste des $27$ diviseurs de $900$ :
$\quad 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 25, 30, 36, 45,\\
\quad 50, 60, 75, 90, 100, 150, 180, 225, 300, 450, 900.$
Sa décomposition en facteur premier donne :
$\quad 900=1\times 2^2\times 3^2\times 5^2.$

2.) $(x-3)(y-4)=900\iff (x-3)(y-4)=1\times 2^2\times 3^2\times 5^2$.
Soit un triplet $(a, b, c)$ d'exposants dans lequel $a$, $b$, $c$ appartiennent à $E=\{0;1;2\}$.
Pour équilibrer les deux facteurs de l'équation, il faut compenser les exposants d'une variable sur l'autre.
Si on définie ainsi la première des deux : $x=2^a\times 3^b\times 5^c+3,$
on compense l'autre de cette manière : $y=2^{2-a}\times 3^{2-b}\times 5^{2-c}+4$.
Chaque couple $(x,y)$ qui satisfait à ces critères est une solution entière ?

Cf la 2ème question, même si j'ai la solution, je cherche une démonstration...
Merci et @+

[Job]

Bonjour

Je pense qu'il ne faut pas chercher trop compliqué. Il faudrait simplement préciser que $a, b, c$ appartiennent à $\{0,1,2\}$ et on peut écrire les 27 couples possibles.

[Shareman]

Merci pour ta réponse.

Je pense qu'il ne faut pas chercher trop compliqué. Il faudrait simplement préciser que $a, b, c$ appartiennent à $\{0,1,2\}$ et on peut écrire les 27 couples possibles.

J'essaye quand même... Je pose :
$\quad X=1\times 2^a\times 3^b\times 5^c\quad$ et $\quad Y=1\times 2^{2-a}\times 3^{2-b}\times 5^{2-c}.$
Suivant la propriété d'addition des exposants entiers, on en déduit :
$\quad XY=1\times 2^{a+2-a}\times 3^{b+2-b}\times 5^{c+2-c}=1\times 2^2\times 3^2\times 5^2=900,$
En particulier, ce que l'on peut écrire :
$\quad(X+3-3)(Y+4-4)=900\iff (x-3)(y-4)=900$.

Cette démonstration est correcte ?
@+

[Job]

Oui, la démonstration est correcte.

[Shareman]

Une autre équation sur le même thème :

Trouvez tous les couples d’entiers naturels $(x;y)$ tels que : $x^2-2xy=15.$
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On a : $x^2-2xy=15\iff x(x-2y)=15$
Cela signifie que les nombres $x$ et $x-2y$ sont des diviseurs de $15$.
On en déduit que $x\in\big\{1,3,5,15\big\}.$
$x^2-2xy=15\iff y=\dfrac{x^2-15}{2x};$
Maintenant, il faut "tester" chacune des 4 valeurs candidates pour $x$ :
$\quad x=1\Longrightarrow y=-7\notin\mathbb{N},$
$\quad x=3\Longrightarrow y=-1\notin\mathbb{N},$
$\quad x=5\Longrightarrow y=1\in\mathbb{N},$
$\quad x=15\Longrightarrow y=7\in\mathbb{N}.$
Conclusion, seuls les couples :
$\quad(x;y)=(5;1)$ et $(x;y)=(15;7)$ sont à retenir.

C'est un exercice corrigé, mais l'approche de la correction est différente de la mienne.
Elle utilise le fait que : $x^2>15$ pour retenir directement $x=5$ et $x=15,$ pourquoi ?!

Merci et @+

[Job]

Bonjour

À partir de l'égalité $y=\frac{x^2-15}{2x}$, pour que $y$ soit un entier naturel , il faut que $x^2\geq 15$ donc les seules valeurs possibles pour $x$ sont 5 et 15.

[Shareman]

Tout simplement... Merci