Je recommence cet exercice que j’avais abandonné, faute de piste...
Il est tiré d'un ancien livre d'une classe de terminale CT.
Une suite récurrente est définie par :
$u_0=0$, $u_1=1$ et $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$
1.) Donner les 20 premiers termes de cette suite.
2.) Démontrer que $u_{n+2}=1+\sum_{k=0}^n u_k=1+u_0+u_1+...+u_n.$
3.) Démontrer que le carré d'un terme de cette suite, à partir de $u_2$,
est égal au produit des termes qui l'encadrent augmenté ou diminué de 1;
c'est à dire que :
$\quad (u_i)^2=u_{i-1}\times u_{i+1}+1,$
$\quad (u_i)^2=u_{i-1}\times u_{i+1}-1.$
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- 1.) La liste des 20 premiers termes :
$\quad u_0=0,\quad u_1=1,\quad u_2=1,\quad u_3=2,\quad u_4=3,\quad u_5=5, \\
\quad u_6=8,\quad u_7=13,\quad u_8=21,\quad u_9=34,\quad u_{10}=55, \\
\quad u_{11}=89,\ u_{12}=144,\ u_{13}=233,\ u_{14}=377,\ u_{15}=610, \\
\quad u_{16}=987,\ u_{17}=1597,\ u_{18}=2584,\ u_{19}=4181.$
Ces calculs sont justes
- 2.a) --- Démonstration en "cascade" ---
$\quad u_0=0\\
\quad u_1=1\\
\quad u_2=u_0+u_1\\
\quad u_3=u_1+u_2\\
\quad u_4=u_2+u_3\\
\quad . . . . . . . .$
$\quad u_n=u_{n-2}+u_{n-1}\\
\quad u_{n+1}=u_{n-1}+u_n\\
\quad u_{n+2}=u_n+u_{n+1}$
On fait la somme membre à membre comme ceci :
$\quad u_0+u_1+u_2+u_3+...+u_{n-2}+u_{n-1}+u_n+u_{n+1}+u_{n+2}=\\
\quad 0+1+u_0+u_1+u_1+u_2+u_2+...+u_{n-1}+u_{n-1}+u_n+u_n+u_{n+1}.$
Après simplification, on s'aperçoit que le membre de gauche ne contient plus que le terme $u_{n+2}$ et le membre de droite, qui contenait tous les termes en double, sauf $u_{n+1}$, s'organise comme une somme où chaque terme n'apparait qu'une seule fois :
$\quad u_{n+2}=1+u_0+u_1+u_2+...+u_n.$ CQFD.
- 2.b) --- Démonstration par récurrence ---
. Initialisation : $u_0$=0, $u_1=1$, $u_2=1+u_0+u_1=1+0+1=2,$ c'est ok.
.. Propagation : on suppose vrai $u_{n+2}=1+\sum_{k=0}^n u_k$ au rang $n$;
Sachant que l'on a : $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n,$
$u_{n+3}=\underbrace{1+\sum_{k=0}^n u_k}_{u_{n+2}}+u_{n+1}=1+\sum_{k=0}^{n+1} u_k,$ vrai au rang $n+1$.
... Conclusion : Cette propriété qui est vrai aux rangs $n=0$, $n$ et $n+1$ est vrai $\forall n\in\mathbb{N}.$ CQFD ?
- 3.) Cela peut/doit être démontrer par cette récurrence :
$\quad\forall k \geq 2,\ u_{2k}^2 = u_{2k-1}\times u_{2k+1} -1$ et $u_{2k+1}^2 = u_{2k}\times u_{2k+2} +1$ ?
Merci pour les réponses,
@+
