Suite récurrente de Fibonacci
Suite récurrente de Fibonacci
Bonjour,
Je recommence cet exercice que j’avais abandonné, faute de piste...
Il est tiré d'un ancien livre d'une classe de terminale CT.
Une suite récurrente est définie par :
$u_0=0$, $u_1=1$ et $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$
1.) Donner les 20 premiers termes de cette suite.
2.) Démontrer que $u_{n+2}=1+\sum_{k=0}^n u_k=1+u_0+u_1+...+u_n.$
3.) Démontrer que le carré d'un terme de cette suite, à partir de $u_2$,
est égal au produit des termes qui l'encadrent augmenté ou diminué de 1;
c'est à dire que :
$\quad (u_i)^2=u_{i-1}\times u_{i+1}+1,$
$\quad (u_i)^2=u_{i-1}\times u_{i+1}-1.$
__________________________________________________
- 1.) La liste des 20 premiers termes :
$\quad u_0=0,\quad u_1=1,\quad u_2=1,\quad u_3=2,\quad u_4=3,\quad u_5=5, \\
\quad u_6=8,\quad u_7=13,\quad u_8=21,\quad u_9=34,\quad u_{10}=55, \\
\quad u_{11}=89,\ u_{12}=144,\ u_{13}=233,\ u_{14}=377,\ u_{15}=610, \\
\quad u_{16}=987,\ u_{17}=1597,\ u_{18}=2584,\ u_{19}=4181.$
Ces calculs sont justes
- 2.a) --- Démonstration en "cascade" ---
$\quad u_0=0\\
\quad u_1=1\\
\quad u_2=u_0+u_1\\
\quad u_3=u_1+u_2\\
\quad u_4=u_2+u_3\\
\quad . . . . . . . .$
$\quad u_n=u_{n-2}+u_{n-1}\\
\quad u_{n+1}=u_{n-1}+u_n\\
\quad u_{n+2}=u_n+u_{n+1}$
On fait la somme membre à membre comme ceci :
$\quad u_0+u_1+u_2+u_3+...+u_{n-2}+u_{n-1}+u_n+u_{n+1}+u_{n+2}=\\
\quad 0+1+u_0+u_1+u_1+u_2+u_2+...+u_{n-1}+u_{n-1}+u_n+u_n+u_{n+1}.$
Après simplification, on s'aperçoit que le membre de gauche ne contient plus que le terme $u_{n+2}$ et le membre de droite, qui contenait tous les termes en double, sauf $u_{n+1}$, s'organise comme une somme où chaque terme n'apparait qu'une seule fois :
$\quad u_{n+2}=1+u_0+u_1+u_2+...+u_n.$ CQFD.
- 2.b) --- Démonstration par récurrence ---
. Initialisation : $u_0$=0, $u_1=1$, $u_2=1+u_0+u_1=1+0+1=2,$ c'est ok.
.. Propagation : on suppose vrai $u_{n+2}=1+\sum_{k=0}^n u_k$ au rang $n$;
Sachant que l'on a : $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n,$
$u_{n+3}=\underbrace{1+\sum_{k=0}^n u_k}_{u_{n+2}}+u_{n+1}=1+\sum_{k=0}^{n+1} u_k,$ vrai au rang $n+1$.
... Conclusion : Cette propriété qui est vrai aux rangs $n=0$, $n$ et $n+1$ est vrai $\forall n\in\mathbb{N}.$ CQFD ?
- 3.) Cela peut/doit être démontrer par cette récurrence :
$\quad\forall k \geq 2,\ u_{2k}^2 = u_{2k-1}\times u_{2k+1} -1$ et $u_{2k+1}^2 = u_{2k}\times u_{2k+2} +1$ ?
Merci pour les réponses,
@+
Je recommence cet exercice que j’avais abandonné, faute de piste...
Il est tiré d'un ancien livre d'une classe de terminale CT.
Une suite récurrente est définie par :
$u_0=0$, $u_1=1$ et $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$
1.) Donner les 20 premiers termes de cette suite.
2.) Démontrer que $u_{n+2}=1+\sum_{k=0}^n u_k=1+u_0+u_1+...+u_n.$
3.) Démontrer que le carré d'un terme de cette suite, à partir de $u_2$,
est égal au produit des termes qui l'encadrent augmenté ou diminué de 1;
c'est à dire que :
$\quad (u_i)^2=u_{i-1}\times u_{i+1}+1,$
$\quad (u_i)^2=u_{i-1}\times u_{i+1}-1.$
__________________________________________________
- 1.) La liste des 20 premiers termes :
$\quad u_0=0,\quad u_1=1,\quad u_2=1,\quad u_3=2,\quad u_4=3,\quad u_5=5, \\
\quad u_6=8,\quad u_7=13,\quad u_8=21,\quad u_9=34,\quad u_{10}=55, \\
\quad u_{11}=89,\ u_{12}=144,\ u_{13}=233,\ u_{14}=377,\ u_{15}=610, \\
\quad u_{16}=987,\ u_{17}=1597,\ u_{18}=2584,\ u_{19}=4181.$
Ces calculs sont justes
- 2.a) --- Démonstration en "cascade" ---
$\quad u_0=0\\
\quad u_1=1\\
\quad u_2=u_0+u_1\\
\quad u_3=u_1+u_2\\
\quad u_4=u_2+u_3\\
\quad . . . . . . . .$
$\quad u_n=u_{n-2}+u_{n-1}\\
\quad u_{n+1}=u_{n-1}+u_n\\
\quad u_{n+2}=u_n+u_{n+1}$
On fait la somme membre à membre comme ceci :
$\quad u_0+u_1+u_2+u_3+...+u_{n-2}+u_{n-1}+u_n+u_{n+1}+u_{n+2}=\\
\quad 0+1+u_0+u_1+u_1+u_2+u_2+...+u_{n-1}+u_{n-1}+u_n+u_n+u_{n+1}.$
Après simplification, on s'aperçoit que le membre de gauche ne contient plus que le terme $u_{n+2}$ et le membre de droite, qui contenait tous les termes en double, sauf $u_{n+1}$, s'organise comme une somme où chaque terme n'apparait qu'une seule fois :
$\quad u_{n+2}=1+u_0+u_1+u_2+...+u_n.$ CQFD.
- 2.b) --- Démonstration par récurrence ---
. Initialisation : $u_0$=0, $u_1=1$, $u_2=1+u_0+u_1=1+0+1=2,$ c'est ok.
.. Propagation : on suppose vrai $u_{n+2}=1+\sum_{k=0}^n u_k$ au rang $n$;
Sachant que l'on a : $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n,$
$u_{n+3}=\underbrace{1+\sum_{k=0}^n u_k}_{u_{n+2}}+u_{n+1}=1+\sum_{k=0}^{n+1} u_k,$ vrai au rang $n+1$.
... Conclusion : Cette propriété qui est vrai aux rangs $n=0$, $n$ et $n+1$ est vrai $\forall n\in\mathbb{N}.$ CQFD ?
- 3.) Cela peut/doit être démontrer par cette récurrence :
$\quad\forall k \geq 2,\ u_{2k}^2 = u_{2k-1}\times u_{2k+1} -1$ et $u_{2k+1}^2 = u_{2k}\times u_{2k+2} +1$ ?
Merci pour les réponses,
@+
Re: Suite récurrente de Fibonacci
Bonjour
Les démonstrations sont justes mais la conclusion de la récurrence est mal formulée. Une manière de rédiger : l'égalité est vraie au rang 0 et si elle est vraie au rang $n$ alors elle est vraie au rang $n+1$ donc par récurrence pour tout $n$, l'égalité est vraie.
3) Une méthode : on considère la suite $(v_i)_{i\geq 2}$ définie par $v_i=u_i^2-u_{i-1}u_{i+1}$ et on démontre que cette suite est géométrique de raison $(-1)$
Je te laisse essayer de faire la démonstration.
Les démonstrations sont justes mais la conclusion de la récurrence est mal formulée. Une manière de rédiger : l'égalité est vraie au rang 0 et si elle est vraie au rang $n$ alors elle est vraie au rang $n+1$ donc par récurrence pour tout $n$, l'égalité est vraie.
3) Une méthode : on considère la suite $(v_i)_{i\geq 2}$ définie par $v_i=u_i^2-u_{i-1}u_{i+1}$ et on démontre que cette suite est géométrique de raison $(-1)$
Je te laisse essayer de faire la démonstration.
Re: Suite récurrente de Fibonacci
Merci pour ta réponse.
$\dfrac{v_{i+1}}{v_i}=-1\iff v_{i+1}=-v_i\iff u^2_{i+1}-u_i\times u_{i+2}=-(u^2_{i}-u_{i-1}\times u_{i+1})$ ?
@+
Donc, je dois prouver que :Job a écrit : 3) Une méthode : on considère la suite $(v_i)_{i\geq 2}$ définie par $v_i=u_i^2-u_{i-1}u_{i+1}$ et on démontre que cette suite est géométrique de raison $(-1)$
Je te laisse essayer de faire la démonstration.
$\dfrac{v_{i+1}}{v_i}=-1\iff v_{i+1}=-v_i\iff u^2_{i+1}-u_i\times u_{i+2}=-(u^2_{i}-u_{i-1}\times u_{i+1})$ ?
@+
Re: Suite récurrente de Fibonacci
C'est bien cela et ensuite le calcul de $v_2$ permet d'obtenir chaque terme de la suite $(v_i)$ et on obtient alors le résultat demandé suivant la parité de $i$.
Re: Suite récurrente de Fibonacci
Bonsoir,
Même si je remarque que :
$v_{i+1}=-v_i=(-1)^n\times v_2,$
Je ne sais pas le prouver et, ensuite, comment conclure ?
@+
Même si je remarque que :
$v_{i+1}=-v_i=(-1)^n\times v_2,$
Je ne sais pas le prouver et, ensuite, comment conclure ?
@+
Re: Suite récurrente de Fibonacci
Bonsoir
$v_{i+1}=u_{i+1}^2-u_iu_{i+2}=u_{i+1}^2 -u_i(u_i+u_{i+1})$
$=u_{i+1}(u_{i+1}-u_i)-u_i^2=u_{i+1}u_{i-1} -u_i^2=-v_i$
$(v_i)$ est donc une suite géométrique de raison (-1)
$v_2=u_2^2 -u_1u_3=1-2=-1$
Donc $v_i=v_2\times (-1)^{i-2} =(-1)^{i-3}=(-1)^{i-1}$
Par conséquent en revenant à la définition de $(v_i)$ :
* si $i$ est pair $v_i=-1$ donc $u_i^2=u_{i-1}u_{i+1}-1$
* si $i$ est impair $v_i=1$ donc $u_i^2=u_{i-1}u_{i+1} +1$
La suite de Fibonacci a de nombreuses propriétés intéressantes.
$v_{i+1}=u_{i+1}^2-u_iu_{i+2}=u_{i+1}^2 -u_i(u_i+u_{i+1})$
$=u_{i+1}(u_{i+1}-u_i)-u_i^2=u_{i+1}u_{i-1} -u_i^2=-v_i$
$(v_i)$ est donc une suite géométrique de raison (-1)
$v_2=u_2^2 -u_1u_3=1-2=-1$
Donc $v_i=v_2\times (-1)^{i-2} =(-1)^{i-3}=(-1)^{i-1}$
Par conséquent en revenant à la définition de $(v_i)$ :
* si $i$ est pair $v_i=-1$ donc $u_i^2=u_{i-1}u_{i+1}-1$
* si $i$ est impair $v_i=1$ donc $u_i^2=u_{i-1}u_{i+1} +1$
La suite de Fibonacci a de nombreuses propriétés intéressantes.