[Arithmétique] Retrouver un nombre

[Shareman]

Bonjour,

Voici un exercice avec des calculs basiques, mais assez difficile niveau logique.
Je pense l'avoir traité correctement, mais quid de la rédaction ?

Soit $A \in\mathbb{N}$ un nombre de 3 chiffres représenté par $A=\overline{cdu}$.
On demande de déterminer $A$ sachant que :
$\left\{
\begin{array}{l l l}
3c+d+u = \overline{ud}+9 \\
\overline{cud}+27 = \overline{cdu} \\
7\,|\,\overline{cdu}\quad\text{et}\quad 7\,|\,\overline{udc}.
\end{array}
\right.$
_____________________________________________________

Si on exprime $A$, un nombre naturel, ainsi :
$\quad\overline{cdu}=100c+10d+u$,
on peux transformer le système de cette façon :
$\left\{
\begin{array}{l l l}
L_1\ 3c+d+u=(10u+d)+9 \\
L_2\ (100c+10u+d)+27=(100c+10d+u) \\
L_3\ 7\,|\,(100c+10d+u)\ \text{et}\ 7\,|\,(100u+10d+c).
\end{array}
\right.$
$L_1\ 3c+d+u=\overline{ud}+9\iff 3c+d+u=10u+d+9,$
$\qquad 3c=9u+9\iff c=3u+3.$

$L_2\ 100c+10u+d+27=100c+10d+u\iff 10u+d+27=10d+u,$
$\qquad 9u-9d+3\times 9=0\iff d=u+3.$

$L_3$ - Rappel : $d|a\ \text{et}\ d|b\ \Longrightarrow\ d|a-b$
$\qquad \overline{cdu}-\overline{udc}=100c+10d+u-(100u+10d+c)=99c-99u;$
$\qquad\text{Il s'en suit que : }7\,|\,99\times(c-u)\Longrightarrow 7\,|\,c-u;$
Ce qui revient à dire que : $c-u=7k\iff c=7k+u=7+u;$
En effet, $k=1$ est la seule valeur possible dans ce cas.
$c=7+u\iff 3u+3=7+u\iff u=2.$

Conclusion : ($c=3u+3=9$, $d=u+3=5$ et $u=2)\ \Longrightarrow\ A=952$.

Pouvez-t-on faire plus simple ?
Merci pour vos remarques, @+

[Job]

Bonjour

La démonstration et les calculs sont bons. J'aurais simplement justifié : $7|99(c-u)$ et 7 est premier avec 99 donc 7 divise $c-u$ (théorème de Gauss)

[Shareman]

Ok, merci !