suite+complexes

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nico033
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suite+complexes

Message par nico033 » 16 novembre 2018, 23:19

Bonsoir Job;

Pourriez vous m'aidez dans l'exercice pour la semaine prochaine. En vous remerciant par avance;

la suite (Zn) de nombres complexes est définie Z0 et Zn+1 = 1/2i Zn + 5 pour tout entier naturel n
On note Mn le point d'affixe zn
Dans cette question on choisit z0 = a (a est qui est la solution de Z = 1/2 i Z + 5 )et A le point du plan d'affixe a.
Que peut on dire de la suite (zn)?
Dans la suite on prendra z0 = 0. On définit la suite (un) pour tout entier naturel n, un = zn - a
Montrer que un+1 = 1/2 i un
Démontrer que pour tout entier naturel n , les points A, Mn et Mn+4 sont alignés?

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Job
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Re: suite+complexes

Message par Job » 17 novembre 2018, 16:50

Bonjour nico

Par définition l'image de $a$ par la relation de récurrence est $a$ donc, dans ce cas, la suite $(z_n)$ est constante.

$u_{n+1}=z_{n+1}-a = \frac{1}{2} iz_n+5-a =\frac{1}{2} i (u_n+a)+5-a=\frac{1}{2} iu_n +\frac{1}{2} i a +5-a$
Mais $a$ vérifie $a=\frac{1}{2} ia +5$ donc $u_{n+1}=\frac{1}{2} iu_n$

La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $\frac{1}{2} i$
On a donc $u_{n+4} =u_n\times (\frac{1}{2} i)^4=\frac{1}{16} u_n$
$z_{n+4} =u_{n+4} +a=\frac{1}{16} u_n+a =\frac{1}{16} (z_n-a) +a =\frac{1}{16} z_n+\frac{15}{16} a$
$z_{n+4}-a=\frac{1}{16} (z_n-a)$
Donc les vecteurs $\overrightarrow{AM_{n+4}}$ et $\overrightarrow{AM_n}$ sont liés par la relation $\overrightarrow{AM_{n+4}}=\frac{1}{16} \overrightarrow{AM_n}$; Ils sont donc colinéaires et les 3 points sont alignés.

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