Bonjour Job ;
Pourriez vous m'aider dans mon exercice ;
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal. A tout nombre complexe distinct de 4, on associe le nombre Z=(iz-4)/(z-4)
On note A le point d'affixe 4 et on considère l'ensemble E des points M du plan, distincts de A et d'affixe z tels que z' soit réel
1.Méthode algébrique
a. On pose z=x+iy et z'=x'+iy' avec x,y,x' et y' réels. Exprimer x' et y' en fonction de x et y
J'ai remplacé z et Z dans l'expression au début de l'énoncé.
X+iY=(i(x+iy)-4)/(x+iy-4)
=(ix-y-4)/(x+iy-4)
Puis j'ai fait le conjugué du dénominateur, mais le numerateur est à rallonge, et je n'arrive pas a le simplifier..
b. Ecrire une équation cartésienne de E, caractériser et construire E.
E est un cercle ? Une droite ? Je ne sais vraiment pas comment faire..
2/ Méthode géométrique
vérifier que z' = (iz-4 ) / (z-4) est réel sis (z+4i ) / (z-4) est un imaginaire pur interpréter géométriquement le résultat , retrouver l'ensemble E.
nombre complexe
Re: nombre complexe
Bonjour nico
1) Le numérateur ne se simplifie pas, on effectue les produits puis on regroupe pour avoir parie réelle et partie imaginaire.
$Z'=\frac{(ix-y-4)(x-4-iy)}{(x-4+iy)(x-4-iy)}=\frac{ix^2-4ix+xy-xy+4y+iy^2-4x+16-4yi}{(x-4)^2+y^2)}$
$Z'=\frac{4y-4x+16+(x^2-4x+y^2+4y)i}{(x-4)^2+y^2}$
$x'=\frac{4y-4x+16}{(x-4)^2+y^2}$ et $y'=\frac{x^2-4x+y^2+4y}{(x-4)^2+y^2}$
b) $Z'$ est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle soit $\frac{x^2-4x+y^2+4y}{(x-4)^2+y^2}=0$ donc si $\left\{\begin{array}{rcl} x^2-4x+y^2+4y&=&0\\(x-4)^2+y^2&\neq 0& \end{array} \right.$ ce qui donne l'équation cartésienne de $E$.
$x^2-4x+y^2+4y=0 \Longleftrightarrow (x-2)^2-4+(y+2)^2-4=0\Longleftrightarrow (x-2)^2+(y+2)^2=(2\sqrt 2)^2$
$(x-4)^2+y^2\neq 0 \Longleftrightarrow (x-4)\neq 0$ et $y\neq 0$
$E$ est le cercle de centre le point de coordonnées (2 , -2), de rayon $2\sqrt 2$ privé du point $A$.
2) $Z' =\frac{iz+4i^2}{z-4}=\frac{i(z+4i)}{z-4}=i\times \frac{z+4i}{z-4}$
$Z'$ est donc réel si et seulement si $\frac{z+4i}{z-4}$ est imaginaire pur.
Soit $B$ le point d'affixe $-4i$
L'argument de $\frac{z+4i}{z-4}$ est égal à $(\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{BM})$ donc $\frac{z+4i}{z-4}$ est imaginaire pur si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{BM}$ sont orthogonaux donc si et seulement si $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$.
1) Le numérateur ne se simplifie pas, on effectue les produits puis on regroupe pour avoir parie réelle et partie imaginaire.
$Z'=\frac{(ix-y-4)(x-4-iy)}{(x-4+iy)(x-4-iy)}=\frac{ix^2-4ix+xy-xy+4y+iy^2-4x+16-4yi}{(x-4)^2+y^2)}$
$Z'=\frac{4y-4x+16+(x^2-4x+y^2+4y)i}{(x-4)^2+y^2}$
$x'=\frac{4y-4x+16}{(x-4)^2+y^2}$ et $y'=\frac{x^2-4x+y^2+4y}{(x-4)^2+y^2}$
b) $Z'$ est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle soit $\frac{x^2-4x+y^2+4y}{(x-4)^2+y^2}=0$ donc si $\left\{\begin{array}{rcl} x^2-4x+y^2+4y&=&0\\(x-4)^2+y^2&\neq 0& \end{array} \right.$ ce qui donne l'équation cartésienne de $E$.
$x^2-4x+y^2+4y=0 \Longleftrightarrow (x-2)^2-4+(y+2)^2-4=0\Longleftrightarrow (x-2)^2+(y+2)^2=(2\sqrt 2)^2$
$(x-4)^2+y^2\neq 0 \Longleftrightarrow (x-4)\neq 0$ et $y\neq 0$
$E$ est le cercle de centre le point de coordonnées (2 , -2), de rayon $2\sqrt 2$ privé du point $A$.
2) $Z' =\frac{iz+4i^2}{z-4}=\frac{i(z+4i)}{z-4}=i\times \frac{z+4i}{z-4}$
$Z'$ est donc réel si et seulement si $\frac{z+4i}{z-4}$ est imaginaire pur.
Soit $B$ le point d'affixe $-4i$
L'argument de $\frac{z+4i}{z-4}$ est égal à $(\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{BM})$ donc $\frac{z+4i}{z-4}$ est imaginaire pur si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{BM}$ sont orthogonaux donc si et seulement si $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$.